Aus der Ume wird dreimal eine Kugel ohne Zurucklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse.

Question

Aufgabe 33:

In einer Urne befinden sich 10 blaue (B), 8 grüne (G) und 2 (R) rote Kugeln.

a) Aus der Ume wird dreimal eine Kugel ohne Zurucklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

A: "Es kommt die Zugfolge RBG."
B: "Jede Farbe tritt genau einmal auf."
C: "Alle gezogenen Kugeln sind gleichfarbig."
D: "Mindestens zwei der Kugeln sind blau."

b) Aus der Urne wird viermal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau 3 blaue Kugeln dabei?

c) Wie viele Kugeln müssen der Urne mit Zurücklegen entnommen werden, damit unter den gezogenen Kugeln mit wenigstens 90 %iger Wahrscheinlichkeit mindestens eine roto Kugel ist? Hinweis: Betrachten Sie das Gegenereignis "keine rote Kugel".

d) In einer weiteren Urne \( U_{2} \) befinden sich 8 blaue, 8 grüne und 4 rote Kugeln. Es wird folgendes Spiel angeboten: Man muss mit verbundenen Augen eine der beiden Urnen auswählen und 1 Kugel ziehen. Ist die gezogene Kugel rot, so erhālt man 20 € ausbezahlt. Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit? Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair?

Aufgabe 28:

In einem fernen Land ist ein Falschspieler zu 2 Jahren Kerker verurteilt worden. Der Landesfürst lässt ihm noch eine Chance, da der Spieler zum ersten Mal gegen das Gesetz verstoßen hat. Der Falschspieler muss mit verbundenen Augen eine von drei Urnen auswählen (Abb.). Anschliebend muss er aus dieser Urne eine Kugel ziehen. Ist diese weiß, so wird er begnadigt.

a) Welche Begnadigungschance hat der Falschspieler?

b) Kann er seine Chance verbessern, wenn ihm vor der Prozedur gestattet wird, alle vorhandenen Kugeln völlig beliebig auf die Urnen aufzuteilen?

Answer 1

Aaaaaaalso, hier mal ein einleitendes Beispiel anhand der ersten Aufgabe


Da es hier um Ziehen OHNE zurücklegen geht musst du beachten, dass sich die Wahrscheinlichkeiten verändern, weil sich die Anzahl der Kugeln nach jedem ziehen verändert.

A:"Es kommt die Zugfolge RBG"

Es soll also zuerst eine rote, dann eine blaue und zuletzt eine grüne Kugel gezogen werden.

Also greift man zuerst in die Urne mit insgesamt 20 Kugeln (10+8+2=20) und die Wahrscheinlichkeit direkt eine der 2 roten Kugeln zu erwischen beträgt 2/20.

Soweit so gut... Nun (mal angenommen) man hatte soviel Glück eine rote zuerst zu erwischen, so sind nur noch 19 Kugeln in der Urne (Weil wir ja eine rote rausgeholt haben und die Kugeln NICHT zurücklegen. Die Wahrscheinlichkeit jetzt eine der 10 blauen Kugeln zu ziehen beträgt 10/19. Hat man auch das geschafft sin somit nur noch 18 Kugeln in der Urne und man soll zuletzt eine grüne Kugel ziehen, von denen ja 8 drin sind; die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt somit 8/18. Also rechnet man:
P(A)=2/20 * 10/19 * 8/18 = 4/171 =0,1404 = 14,04 %

Für die anderen Aufgaben stellst du dir genauso vor, vor einer solchen Urne zu stehen oder du machst dir die Arbeit un zeichnest ein Baumdiagramm um das zu verdeutlichen.

Die folgenden Ergebnisse lassen sich noch einfacher mit kombinatorischen Abzählverfahren (Kombinatorik/"Lotto-Modell" ausrechnen (kennst du das bereits?)

MFG
der Mathematiker deines Vertrauens