Lineare Differenzialgleichung. In einem Tank mit Wasser befinden sich 100 Liter.

Question

ich muss diese Aufgabe zum Thema lineare Differenzial- und Differenzialgleichung lösen

In einem Tank mit Wasser befinden sich 100 Liter. Ein Zulauf füllt den Tank mit einer Zuckerlösung, deren Zuckergehalt bei
\( \frac{1}{20} \frac{k q}{t} \) liegt. Es fließen 4 Liter pro Minute zu, ebenso fließen durch einen Ablauf 4 Liter pro Minute ab. Die Abflussrate \( f^{\prime}(t) \) gibt den prozentualen Zuckergehalt der abfließenden Lösung an.

a) Bestimmen Sie die Funktion \( f(t), \) die den Zuckergehalt der Lösung im Tank zum Zeitpunkt t angibt.

b) Zum Zeitpunkt \( t=0 \) sei ein Zuckergehalt von \( 0 \% \) in der Lösung. Bestimmen Sie die Funktion \( f(t), \) die diese Anfangsbedingung erfüllt.

Ich weiß mit dieser Aufgabe bzw. mit dem Thema allgemein leider nicht sonderlich viel anzufangen.

Daher wäre ich über einen Ansatz dankbar.

Comments

Stelle doch mal die Gleichungen auf, wenn du die zufließende und abfließende Zuckermenge über das Intervall Delta t betrachtest:

Zufließende Zuckermenge: 1/20 * Δt

Abfließende Zuckermenge: 4 * f(t)/100 * Δt

---

Die abfließende Zuckermenge ist doch f´(t). Aber die Gleichung f´(t)= (4*t*f(t))/100 macht doch keinen Sinn.

Warum ergibt die Menge an Zucker die reingeflossen ist (4*t) mal den Zuckergehalt im Tank [f(t)] durch 100 die Abflussrate [f´(t)]?

---

hat sich erledigt .-) Danke Mathecoach g

---

Hier mal eine ähnliche Aufgabe zum Nachdenken .-)

In einen Tank der 1000 Liter Wasser enthält sind 50 kg Salz gelöst. Ab dem Zeitpunkt t=0  fließen aus dem Tank ständig 10 Liter Wasser pro Minute ab. Gleichzeitig fließen pro Minute 10 Liter Wasser mit einem Salzgehalt von 2 kg zu. Das Wasser im Tank wird permanent vollständig gerührt. Die Funktion y(t) beschreibe den  Salzgehalt in kg zum Zeitpunkt t.

Lösung: y'(t) = -100*y(t) + 2 -> y(t) = 200 - 150*e ^-0,01*t

Answer 1

f'(t) = 0.05 - f(t)

f(t) = c·e^{-t} + 0.05

f(0) = 0
c·e^{-t} + 0.05 = 0
c = -0.05

f(t) = -0.05·e^{-t} + 0.05 = 0.05·(1 - e^{-t})

Achtung. Ich selber hatte Differenzialgleichungen nie in der Uni. Daher ist meine Lösung auf jedenfall sorgfältig zu prüfen.

Comments

Danke.

Aber warum gibt der Zuckergehalt der zufließenden Lösung (also 0,05) - dem Zuckergehalt der Lösung im Tank zum Zeitpunkt t (also f(t)) = den prozentualen Zuckergehalt der abfließenden Lösung an (also f`(t)).

Das wäre doch immer etwas negatives. Weil bei 0,05 - f(t) nach z.B. der ersten Minuten schon 0,05 - 0,2 wäre ( 0,05 *4 liter = 0,2).  Das sind doch 0,05 kg pro liter?

Dadurch wäre f´(t) nach 1 Minute bei -0,15. Aber der prozentuale Zuckergehalt der abfließenden Lösung kann doch gar nicht negativ sein. Da ein Zuckerghalt von -15% keinen Sinn macht.

Oder verstehe ich hier etwas falsch?

---

Muss man hier die 4 Liter beachten ? Der Zulauf muss doch nur gleich dem Ablauf sein. Und wenn ich eine Viertelminute betrachte dann läuft 1 Liter dazu und 1 Liter ab.

---

Hm, ich hatte überschlägig als DGL folgendes raus: f'(t) = 0.05 -0,04* f(t)

---

Ja. Ich habe da einen fatalen Fehler gemacht. Klar. wenn ich einen Ozean habe dann nimmt der Zucker pro liter ja langsamer zu als in einem Becken von 100 Liter.

---

Ok danke, dann ist die DGL also f'(t) = 0,05 -0,04* f(t).

Allerdings habe ich den weiteren Rechenweg nicht verstanden. Woher kommen die c*e^-t? Aus f(t) = c·e^-t + 0.05

Müsste die Gleichung dann jetzt f(t) = (c·e^-t + 0.05)/0,04 heißen?

Ich weiß gar nicht wie man Differenzialgleichungen allgemein löst.

---

Die Lösung der DGL setzt sich aus der homogenen und partikulären Lösung zusammen. Aber das kann dir, so glaube ich, Mathecoach gut erklären .-)

---

Haben wir hier nicht eine lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung?

Laut Formelsammlung ist die allgemeine Form davon: y´(x) + q(x)y(x) = r(x)

und wir haben: f'(t)  - 0,04* f(t) = 0,05

                            y´(x) - g(x)* y(x) = r(x)

 

Die löst man laut FS mit hilfe des Integrals.

q(x) ist bei uns -0,04 Q(x)= -0,04t

Ergibt dann f(x)= e^0,04t*1,25e^0,04t+C

 

Müsste das nicht eigentlich der Rechenweg sein?

---

Bin gleich weg, deswegen nur ein Stichwort: Man kann das auch relativ schnell mit "Trennung der Variablen" lösen, falls bekannt ;).


Grüße

---

Ich habe mich jetzt mal etwas eingelesen..

Meine Gleichung müsst dann ja sein: df/dt = 0,05 - 0,04*f(t) = df = 0,05*dt- 0,04*dt*f(t)

ich weiß jetzt aber nicht wie ich das f(t) aufspalten soll damit nur noch eine Variable auf jeder Seite steht.

---

Hi,

bin nun wieder available. Da noch niemand geschrieben hat, erlaube ich mir mal Dir das zu zeigen ;).


f'(t) = 0,05 - 0,04*f(t)   |Umschreiben von f'(t) in df/dt
df/dt = 0,05-0,04*f      |: rechte Seite   *dt, dann beide Seiten Integrieren

∫ 1/(0,05-0,04*f) df = ∫ 1 dt

-25ln(0,05-0,04f) = x+c     |:(-25)

ln(0,05-0,04f) = -0,04x+d  |e-Funktion anwenden

0,05-0,04f = e^{-0,04x+d}   |-0,05, dann :(-0,04)

f = D*e^{-0,04x} + 1,25


Dabei kommt das D dadurch zustande, dass die e-Funktion mit den Potenzgesetzen umgeschrieben wurde zu e^{-0,04x+d} = e^{-0,04x}*e^d. Es wurde dann darin gleich noch :(-0,04) darin verarbeitet.


Grüße

---

Danke, dann war ich ja mit meinem Ansatz gar nicht so falsch.

Das x in deiner Rechnung müsste aber ein t sein, oder?

---

Oh ja sry, ich bin y(x) gewohnt^^. Und die Macht der Gewohnheit....

Answer 2

Die Aufgabe a habe ich auch so gerechnet.


Hat jemand vielleicht einen Lösungsansatz für den b Teil?