Gleichungssysteme lösen durch Gauss'schen Elimination

Question

Ich soll mit der Gauss'schen Elimination folgendes Gleichungssystem lösen:

2x₁ - 3x₂ + x₃ = 0

x₁ + x₂ - x₃ = 0

Nun mein bisheriges Vorgehen (weiss leider nicht, wie die Matrixform darstellen):

2 -3 1 0    (1)

1 1 -1 0    (2)

Nun habe ich (1) mal -1/2 gerechnet und zu (2) addiert; dann die erste gleichung mit 1/2 multiplizert; dann die zweite Gleichung mit 2/5 multipliziert und anschliessend 5/2*(2) und dies zu (1) zuaddiert und folgendes erhalten:

 

1 0 -2/5 0

0 1 -3/5 0

Doch wie nun weiter (falls meine Schritte überhaupt stimmen)?

Answer 1

Hi,

Du hast zwei Gleichungen und 3 Unbekannte. Also eindeutig lösbar ist das System deshalb nicht. Du wirst also als Lösungen unendliche viele bekommen. Am einfachsten ist es, Du addierst die beiden Gleichungen einfach und vertauschst die Spalten. Dann bekommst Du folgende Form

$$ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 3 & -2 & 0  \end{matrix} \right)  $$

Das wäre die Zeilenstufenform. Daraus kannst Du jetzt auch die Lösungen ablesen.

\( x_1=\frac{2}{3}x_2 \) und \( x_3=\frac{5}{3}x_2 \)