Elimination von Unbekannten. Konstruktion aus Stäben

Question

Hallo Mathe-Pros,

ich hätte eine Aufgabe zu lösen, bei der ich leider nicht mehr weiterkomme. Es handelt sich um ein Konstruktionsmodell, das ich mithilfe eines vereinfachten Berechnungsmodell berechnen will. Das Berechnungsmodell besteht aus mehreren Kreisen (siehe Bild). Das vereinfachte Modell soll eine Konstruktion aus Stäben darstellen, die drehend gelagert sind. Wenn der graue Kasten bewegt wird (Y-Wert), verschiebt dieser den Kreismittelpunkt M1 um diesen Wert (y-Wert). Da der graue Kasten auch auf dem Stab mit dem Kreisradius r2 aufliegt, wird der Kreismittelpunkt M2 auf der Kreisbahn des Kreises 1 verschoben. Zudem ändert sich der Schnittpunkt S, der sich aus dem Kreis 2 und dem Kreis 3 ergibt.

Gesucht wird der Kreismittelpunkt M2. Daraus kann dann der Schnittpunkt S errechnet werden. Eine zeichnerische Lösung habe ich, daher dachte ich, muss es auch eine Rechnerische geben.

Mein Gedankengang war Folgender:

1. Aufstellen der Randbedingungen (Gleichungen)

2. Umstellen nach einer Unbekannten

3. Einsetzen in eine Gleichung um so die Unbekannten zu reduzieren.

4. Auflösen nach der letzten verbleibenden Unbekannten.

Die Randbedingungen habe ich mal so angenommen (eventuell auch schon falsch)

1. Randbedingung

Der gesuchte X-Wert des Kreismittelpunkt M2 ist der Funktionwert der Kreisfunktion (x-M2x)²+(y-M2y)²= r1²

Daraus ergibt sich nach Umstellung nach M2y:

M2y = Wurzel(r1² - M2x²)

2.Randbedingung

Der Punkt P,der gesuchte Mittelpunkt M2 und der Schnittpunkt S liegen auf der Geraden mit der Gleichung f(x) = m*x +b

m = (S_y - M2_y) / (S_x -M2_x)

b = M2_y - (S_y - M2_y) / (S_x -M2_x) * M2_x

f(P_x) = (S_y - M2_y) / (S_x -M2_x) * P_x + M2_y - (S_y - M2_y) / (S_x -M2_x) * M2_x

3.Randbedingung

Schnittpunkt der zwei Kreise K2 und K3:

K2: (x-M2_x)2 + (y-M2_y)2= r2²

K3: (x-M3_x)2 + y² = r3²

Subtraktion der beiden Kreisgleichungen ergibt die Geradengleichung:

f(x) = (M3_x - M2_x) / (Wurzel(r2² - M2_x²)) * x + (r3² - M3_x²) / (2 * Wurzel(r2² - M2_x²))

Einsetzen in Kreisgleichung K3 ergibt die quadratische Funktion:

x²+ (M3_x*r3² - M3_x³ - M2_x*r3² + M2_x*M3_x² - 4*M3_x*r2² + 4*M3_x*M2_x² ) / (2*(r2² + M3_x² - 2*M3_x*M2_x)) *x +(M3_x²*r2² - M3_x²*M2_x² + ((r3² - M3_x²)² / 4)) - r3²*r2² + M2_x²*r3²) / (r2² + M3_x² - 2*M3_x*M2_x) = 0

p = (M3_x*r3² - M3_x³ - M2_x*r3² + M2_x*M3_x² - 4*M3_x*r2² + 4*M3_x*M2_x² ) / (2*(r2² + M3_x² - 2*M3_x*M2_x))

q = (M3_x²*r2² - M3_x²*M2_x² + ((r3² - M3_x²)² / 4)) - r3²*r2² + M2_x²*r3²) / (r2² + M3_x² - 2*M3_x*M2_x)

Lösen der p-q-Formel ergibt der Schnittpunkt S_x1:

S_x1 = - p / 2 + Wurzel((p / 2)² - q )

4.Randbedingung

a² + b² = c²

(S_x1 - M2_x)² + (S_y1 - M2_y)² = r2²

Umstellen nach S_{y ergibt:}

S_y1 = Wurzel(r2² - (S_x1 - M2_x)²)

Wenn ich nun die Gleichung von S_x1 in die Formel von S_y1 einsetze und diese wiederum in die Geradengleichung von f(P_x) einsetzte und versuche nach M2_x aufzulösen, komme ich nicht mehr weiter, da M2_x zu verschachtelt ist.

Habe ich da ein Denkfehler oder gibt es noch eine andere Möglichkeit den Mittelpunkt M2 zu berechnen. Das Gauß-Eliminationsverfahren habe ich mal verworfen, da die Unbekannten nicht linear vorliegen (oder geht das trotzdem?).

Für einen Lösungsvorschlag wäre ich euch mega dankbar, denn ich versuche schon seid 2 Wochen dieses Problem zu lösen.

Vielen vielen Dank schon einmal im Voraus.

Mfg Bernd

Comments

Hallo

Rückfrage: dein grauer Block liegt immer waagerecht, d.h. der Punkt P verschiebt sich  auch in x Richtung, wenn sich M1 auf dem Kreis mit r0  bewegt. ist M1P fest, also konstante Länge?

Gruß lul

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Hallo LuL,

ja genau, der Block liegt immer waagerecht. Der X-Wert des Blocks ändert sich nicht....nur der Y-Wert. Daher bleibt auch der X-Wert des Punktes P immer gleich (X-Wert bezogen auf den Kreismittelpunkt M0). Nur der Y-Wert des Punktes ändert sich genau gleich wie der des Kreismittelpunktes M1. Die Mittelpunkte M0,M1,M3, der Punkt P sowie alle Radien sind bekannt. Nur halt der Mittelpunkt M2 sowie der Schnittpunkt S nicht.

Die Konstruktion funktioniert wie ein Kurbeltrieb, bei dem die Stäbe nur auf Kreisbahnen beweglich sind.

Ich hoffe ich habe dir bei deiner Frage weitergeholfen. Wäre echt cool, wenn du vielleicht einen Lösungsansatz hättest.

Gruß Bernd

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Hallo

 ich verstehe die Antwort nicht. Wenn etwa M1 senkrecht über M0 angekomen ist, oder wenn das zu weit ist bei 45° auf K0 dann hat sich doch die x Koordinate bewegt, P ist gleich hoch, aber doch wohl auch in x Richtung verschoben?

kannst du dein bild ergänzen durch eine weitere Stellung etwa bei 45° oder 90° von M1?

Gruß lul

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Hallo LuL,

ich habe mal das Bild erweitert.

Tut mir echt Leid, wenn ich die Frage nicht ganz ausführlich formuliert habe. Ich hoffe jetzt wird es etwas verständlicher.

Oben ist der Urstand des Stabmodells dargestellt....es befindet sich somit in Ruhe. Der Zustand 1 wird erreicht, wenn nun der Block nach unten bewegt wird. Dabei berührt er nur den Mittelpunkt (hier als M1 dargestellt) bis die Stäbe r1 und r2 waagerecht sind. Die Winkelstellung der Stäbe r0 und r3 ergeben sich aus dem Schnittpunkt des Kreises 1 mit den beiden Kreisen 0 und 3.

Nachdem der Zustand 1 überschritten wird, liegt der Block jetzt aber nicht mehr im Mittelpunkt M2 sonder am M1 und am Punkt P auf.

Wird der Block so weit nach unten bewegt, dass der Stab r0 waagerecht ist, wird der Kreismittelpunkt M0 ebenfalls mit verschoben. Das ist aber meines Erachtens für die Berechnung nicht relevant (Ich habe es aber vollständighalber trotzdem mal dargestellt). Die Bewegung nach unten geht aber nur soweit, solange des noch einen Schnittpunkt der Kreise 2 und 3 gibt.

Wäre cool, wenn du damit was anfangen könntest.

Mfg Bernd

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Kann mir hierbei wirklich keiner helfen?

Mir wäre auch schon geholfen, wenn ich wüsste, ob diese Berechnung so überhaupt lösbar ist oder ob ich das Ganze anders rechnen muss?

Für einen Lösungsansatz wäre ich euch echt sehr dankbar.

Mfg Bernd

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Hallo Bernd,

ich schaue mir das heute Abend mal näher an ... (Geduld)

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Hallo Werner,

vielen Dank.

Noch zur Info:

Bis zum Zustand 1 habe ich schon eine Lösung (einfach die Schnittpunkte des Kreises 1 mit den Kreisen 0 und 2) berechnen. Mir fehlt somit die Rechnung vom Zustand 2.

Mfg Bernd

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Hallo Bernd,

ich muss erst mal passen. Das ist heute Abend zu spät geworden. Wie geht denn deine zeichnerische Lösung?

Gruß Werner

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Hallo Werner,

also die zeichnerische Lösung geht so:

Schritt 1 :

Ich setze den Stab r2 an die Kante des Blockes, sodass der Eckpunkt P auf der Geraden des Stabes liegt. (Somit wäre die Bedingung erfüllt, dass der Eckpunkt P auf der Geradengleichung des Stabes r2 liegt.)

Schritt 2:

Ich verschiebe den Stab nun so, dass der Kreismittelpunkt M2 auf der Kreisbahn des Kreises 1 liegt. (Somit wäre die Bedingung erfüllt, dass der Kreismittelpunkt M2 ein Funktionswert der Kreisgleichung 1 ist.)

Schritt 3:

Nun bewege ich den Kreismittelpunkt M2 auf der Kreisbahn des Kreises 1 so, dass das Ende des Stabes r2 an den Schnittpunkt der Kreise 2 und 3 kommt. Dabei schaue ich, dass der Stab r2 immer noch am Eckpunkt des Blockes liegt.(Somit wäre die Bedingung erfüllt, dass der X-Abstand des Funktionswert der Kreisgleichung 1 (M2) und des Kreisschnittpunktes der Kreise 2 u. 3 die Länge von r2 ist)

Schritt 4:

Einfach die Enden der anderen Stäbe r0 r3 an die Enden des Stabes r2 drehen.

Hoffe das kann dir etwas weiterhelfen.

Mfg Bernd

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Hallo Bernd,

Nun bewege ich den Kreismittelpunkt M2 auf der Kreisbahn des Kreises 1 so, dass das Ende des Stabes r2 an den Schnittpunkt der Kreise 2 und 3 kommt.

das geht so nicht (zumindest nicht mit euklidischen Werkzeugen), da sich mit der Verschiebung von \(M_2\) gezwungenermaßen auch der Schnittpunkt von \(k_2\) mit \(k_3\) verschiebt. Das geht maximal als Näherungslösung durch ..

Gruß Werner

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Hallo Werner,

vielen Dank für die Info. Gibt es dann überhaupt eine Möglichkeit das Ganze zu berechnen?

Ich dachte halt, dass der Stab nur an einer Stelle sein kann, an der alle Bedingungen (Gleichungen) erfüllt sind.

MfG Bernd

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Hallo Bernd,

ich habe mich jetzt etwas mit dem Problem beschäftigt, finde aber keinen Zugang. Außer einer nummerischen Lösung (ist aber auch nicht einfach) fällt mir nichts dazu ein.

Ich dachte halt, dass der Stab nur an einer Stelle sein kann, an der alle Bedingungen (Gleichungen) erfüllt sind.

Ich bin mir sicher, dass es eine eindeutige Lösung gibt.

Gruß Werner

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Hallo Werner,

vielen lieben Dank für die Mühen, die du dir hier machst.

Ich habe echt nicht gedacht, dass das so eine schwere unlösbare Aufgabe ist. Meinst du es macht Sinn diese Aufgabe mal in einem anderen Mathe-Forum zu stellen? Oder könnte hier ein Mathe-Student vielleicht mal seinem Prof. diese Aufgabe zeigen?

Mfg Bernd