Hi,
ich nehme an, dass das Folgenglied \( a_n \) so aussieht \( a_n=\frac{1}{n\cdot log(n) \cdot \left[log(log(n))\right]^p} \). Es gibt das Cauchysche Verdichtungskriterium, das Aussagen über die Konvergenz von Reihen erlaubt, s. hier
https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysches_Verdichtungskriterium
Dieses Kriterium wird auf die Reihe $$ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\cdot log(n) \cdot \left[log(log(n))\right]^p} $$ angewandt. Es folgt, die Reihe ist genau dann konvergent, wenn diese Reihe konvergent ist $$ \sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{2^n\cdot log(2^n) \cdot \left[log(log(2^n))\right]^p}=$$ $$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{ n\cdot log(2) \cdot \left[log(n\cdot log(2))\right]^p}=\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{ n\cdot log(2) \cdot \left[log(n)+log(log(2))\right]^p} $$
Das gleiche Kriterium nochmal anwenden ergibt, $$ \sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{ 2^n\cdot log(2) \cdot \left[log(2^n)+log(log(2))\right]^p}=$$ $$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{ log(2) \cdot \left[n\cdot log(2)+log(log(2))\right]^p} $$ und weil \( log(log(2)\lt 0 \) ist, ist die letzte Summe kleiner als
$$ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{ log(2) \cdot \left[n\cdot log(2)+n\cdot log(log(2))\right]^p}=$$ $$\frac{1}{log(2)\cdot [log(2)+log(log(2))]^p}\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n^p}$$
Und diese ist konvergent für \( p \gt 1 \)
Mit den gleichen Argumenten zeigt man, dass die Reihe für p=1 divergiert.
Ich hoffe das hiflt.
