Question

Für welche p ∈ N konvergiert die Reihe Σ 1/n×log (n)×(log (log (n)))^p mit n=2 bis unendlich?

Answer 1

Hi, da stimmt was nicht. Für n=1 soll $log[log(n)]$ berechnet werden. Es gilt aber $log(1)=0$ und $log(0)$ ist nicht definiert.

Ist an der Aufgabenstellung was falsch?

Comments

Ja du hast recht, sorry es gilt  für n=2 bis unendlich. kannst du dajit jetzt was anfangen?

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Hi,

ich nehme an, dass das Folgenglied $a_n$ so aussieht $a_n=\frac{1}{n\cdot log(n) \cdot \left[log(log(n))\right]^p}$. Es gibt das Cauchysche Verdichtungskriterium, das Aussagen über die Konvergenz von Reihen erlaubt, s. hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysches_Verdichtungskriterium

Dieses Kriterium wird auf die Reihe $$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\cdot log(n) \cdot \left[log(log(n))\right]^p}$$ angewandt. Es folgt, die Reihe ist genau dann konvergent, wenn diese Reihe konvergent ist $$\sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{2^n\cdot log(2^n) \cdot \left[log(log(2^n))\right]^p}=$$ $$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{ n\cdot log(2) \cdot \left[log(n\cdot log(2))\right]^p}=\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{ n\cdot log(2) \cdot \left[log(n)+log(log(2))\right]^p}$$

Das gleiche Kriterium nochmal anwenden ergibt, $$\sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{ 2^n\cdot log(2) \cdot \left[log(2^n)+log(log(2))\right]^p}=$$ $$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{ log(2) \cdot \left[n\cdot log(2)+log(log(2))\right]^p}$$ und weil $log(log(2)\lt 0$ ist, ist die letzte Summe kleiner als
$$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{ log(2) \cdot \left[n\cdot log(2)+n\cdot log(log(2))\right]^p}=$$ $$\frac{1}{log(2)\cdot [log(2)+log(log(2))]^p}\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n^p}$$
Und diese ist konvergent für $p \gt 1$

Mit den gleichen Argumenten zeigt man, dass die Reihe für p=1 divergiert.

Ich hoffe das hiflt.

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einfacher mit Integralkriterium

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Dann zeig dochmal wie einfach es ist.

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Die angegebene Reihe ist Riemann'sche Summe zum Integral

$\int \limits_{2}^{\infty} \frac{1}{x \cdot \log (x) \cdot\left(\log (\log (x))^{p}\right.} d x$

mit der Stammfunktion

$\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1-p} \cdot\left(\log (\log (x))^{1-p}\right. & \text { falls } p \neq 1 \\ \log (\log (\log (x))) & \text { falls } p=1\end{array}\right.$

woraus sich die Konvergenzaussagen unmittelbar ergeben.

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Ja, das ist auch gut. Habe die Stammfunktion so schnell nicht erkannt. Wenn man die sofort errät, ist es sicherlich einfach.