0 Daumen
3,6k Aufrufe
Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass das Produkt dreier aufeinander folgender natürlicher Zahlen stets durch 6 teilbar ist.
Gefragt von

1 Antwort

+1 Punkt
 
Beste Antwort
Dazu braucht man doch nicht mal die Induktion.

Da jede 3. Zahl durch 3 teilbar ist, gibt es zwischen 2 durch 3 teilbaren Zahlen immer nur 2 Zahlen die nicht durch 3 teilbar sind.

Damit ist von 3 aufeinanderfolgenden Zahlen immer eine durch 3 teilbar.

 

Jetzt mal der Versuch mit Induktion

1*2*3 ist durch 3 teilbar weil ein Faktor durch 3 teilbar ist

(a-2) * (a-1)* a
(a-1)* a * (a+1)
a * (a+1) * (a+2) seien durch 3 teilbar weil a durch 3 teilbar ist.

Ich untersuche jetzt

(a+1) * (a+2) * (a+3)

a ist durch 3 teilbar und läst sich schreiben als 3n. Damit ist a+3 = 3n+3 = 3(n+1) und somit auch durch 3 teilbar.

Wenn jetzt aber a+3 durch 3 teilbar ist ersetze ich a+3 durch a und erhalte (a-2) * (a-1)* a.

Damit ist es für alle Produkte aus 3 aufeinanderfolgenden Zahlen gezeigt.
Beantwortet von 260 k

Er hat aber gefragt ob es durch 6 teilbar ist und das ist nicht der fall.

Wenn die Frage lautet

"Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass das Produkt dreier aufeinander folgender natürlicher Zahlen stets durch 6 teilbar ist."

Dann kann man in der Regel auch davon ausgehen das die Aussage sttimmt.

"Er hat aber gefragt ob es durch 6 teilbar ist und das ist nicht der fall. "

Wo liegt denn genau dein Problem. Man doch mal ein Beispiel wo es nicht der Fall ist.

Naja, das Problem liegt wohl darin, dass die Teilbarkeit durch 6 gezeigt werden soll, der Beweis aber nur die Teilbarkeit durch 3 zeigt.

Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Ich hoffe jeder weiß wann eine Zahl durch 2 teilbar ist. Man kann es genau so darlegen wie ich es oben mit 3 gemacht habe. Ein wenig Eigeninitiative darf man jemandem noch zutrauen denke ich.

Oder gibt es hier Leute die nur mit abschreibefertigen Lösungen klarkommen? Ich hoffe doch nicht.

Manche hier können nicht mal ihre Aufgaben richtig abschreiben...

Abgesehen davon finde ich deine Induktion oben ein wenig unübersichtlich.


Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...