Die vollständige Induktion und das mysteriöse a. Für a∈ℕ mit a≥1 ist (a^{2n+1}-a) durch 6 teilbar für alle n≥0.

Question

Vollständige Induktion:

Aufgabe: Für a∈ℕ mit a≥1 ist (a²ⁿ⁺¹-a) durch 6 teilbar für alle n≥0.

Lösung:

IA: n=0: a^2*0+1-a = a¹-a = 0 ✓

IS:  a^2(n+1)+1-a = a²ⁿ⁺³-a

                           =a²*a²ⁿ⁺¹-a

                           =(a²-1)a²ⁿ⁺¹+(a²ⁿ⁺¹-a)

                           =(a-1)*a*(a+1)a²ⁿ⁺¹+(a²ⁿ⁺¹-a)  ⟩

  

Der zweite Summand ist durch 6 teilbar nach IV.

Der erste Summand ist durch 6 teilbar, da "(a-1)a(a+1)" drei aufeinander folgende Zahlen enthält, somit ist der Term durch 2 und durch 3 - also auch durch 6 - teilbar.

Meine Frage:

Woher kommt in der letzten Zeile das a zwischen (a-1) & (a+1)? Dieser Term wird ja aus (a²-1) mit der 3. Bin. Formel geformt, ein weiteres a als Multiplikator sollte darin allerdings nicht vorkommen.

Comments

gegeben: 6 Ι m∧(2n+1) - m 

Vielen dank 

Ich habe andere Methode gemacht . 

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Du solltest das n nicht auch noch m nennen. m ist als Basis besetzt.

Wähle einen andern Buchstaben und schau ob's am Schluss keinen Salat gibt.

Sieht aber sonst nicht schlecht aus. 

Stimmt der Induktionsschritt auch von n=0 nach n=1?

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Das stimmt , wenn m∈ ℕ ohne (1)

Answer 1

a^2(n+1)+1-a = a²ⁿ⁺³-a

                           =a²*a²ⁿ⁺¹-a

=a^2 * a^{2n+1} - a^{2n+1} + a^{2n+1} - a

                           =(a²-1)a²ⁿ⁺¹+(a²ⁿ⁺¹-a)

                           =(a-1)*a*(a+1)a²ⁿ+(a²ⁿ⁺¹-a)  

Du kannst das a von a^{2n+1} abspalten. Aus a^{2n+1} wird so a*a^{2n}