efunktion: f(x)=e^{-0,5*x^2} untersuchen auf Achsenschnittpunkte...

Question

1. gegeben ist die funktion f(x)=e^-0,5*x^2

untersuchen sie f auf achsenschnittpunkte, extrema und wendepunkte und symmetrie.

b) bestimmen sie die Gleichung der Tangente t und der Normalen n von f im Punkt P(1/f(1))

kann mir jemand bitte helfen, wäre sehr nett

Answer 1

Hallo Ela,

 

f(x) = e^{-0,5*x^2} = 1/e^{0,5*x^2}

Da x² den gradzahligen Exponenten 2 hat, ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse:

Achsenschnittpunkte

Mit der x-Achse

1/e^{0,5*x^2} = 0 | * e^{0,5*x^2}

1 = 0 | unwahr, also keine Schnittpunkte mit der x-Achse

Mit der y-Achse

1/e^{0,5*0^2} = 1/1 = 1

Schnittpunkt mit der y-Achse = (0|1)

 

Extrema:

1. Ableitung (innere Ableitung * äußere Ableitung)

Innere Ableitung = -1 * x

Äußere Ableitung = e^{-0,5*x^2}

f'(x) = -x * e^{-0,5*x^2}

2. Ableitung (Produktregel)

(uv)' = u'v + uv'

u = -x | u' = -1

v = e^{-0,5*x^2} | v' = -x * e^{-0,5*x^2}

f''(x) = - e^{-0,5*x^2} + x² * e^{-0,5*x^2}

Notwendige Voraussetzung für Extremum: f'(x) = 0

-x * e^{-0,5*x^2} = 0

Da e^"irgendwas" stets ≠ 0, wird die 1. Ableitung nur 0 für x = 0

Hinreichende Bedingung für Extremum: f''(x) ≠ 0

f''(0) = - 1 + 0 < 0, also Maximum an der Stelle x = 0

Dies noch in die Ursprungsfunktion eingesetzt, um den y-Wert zu erhalten:

f(0) = e^{-0,5*0^2} = e^-0 = 1/e⁰ = 1/1 = 1

Es gibt also ein Maximum an (0|1).

 

Wendepunkte:

Notwendige Bedinung für Wendepunkte: f''(x) = 0

f''(x) = - e^{-0,5*x^2} + x² * e^{-0,5*x^2}  lässt sich schreiben als

e^{-0,5*x^2} * (x² - 1)

Dieser Term wird 0 nach dem oben Gesagten nur 0 für

x² - 1 = 0

x² = 1

x_1,2 = ± 1

Nun müsste man noch überprüfen, ob f'''(1) und f'''(-1) ≠ 0 sind (hinreichende Bedingung für Wendepunkt). Das erspare ich mir jetzt, da man ja in der Grafik sieht, dass an diesen Stellen tatsächlich Wendepunkte liegen. Auch müsste man noch 1 bzw. -1 in die Ursprungsfunktion einsetzen, um die y-Koordinaten zu erhalten.

 

Teil b) vielleicht nachher, falls kein anderer sich erbarmt :-)

(Ist nicht bös gemeint!)

 

Besten Gruß

Comments

Dankee, sie haben mir wirklich sehr geholfen :) wirklich sehr vielen dank, die aufgabe hätte ich sonst nicht alleine hinbekommen...

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Freut mich wirklich, wenn ich helfen konnte Ela !!