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In einem Langzeitexperiment werden einzellige Algen in einer Kultur gezüchtet. Sie vermehren sich durchschnittlich einmal pro Tag durch Teilung, so dass aus einer Alge zwei entstehen. Aufgrund von Eisenknappheit, die in diesem Experiment untersucht wird, sterben jeden Tag etwa 20% der Algen ab. Außerdem werden mehrmals täglich Proben für weitere Untersuchungen entnommen, wobei die Gesamtanzahl der an einem Tag entnommenen Algen konstant ist und k Algen beträgt.

a) Stellen Sie eine Differentialgleichung für die Anzahl n(t) der Algen zum Zeitpunkt t in Tagen auf.

b) Welche Art von Differentialgleichung erhalten Sie (Homogenität, Linearität, Ordnung, Koeffizienten)? Wie würden Sie diese lösen?

c) Berechnen Sie den Fixpunkt der Dynamik und bestimmen Sie seine Stabilität. Was passiert also mit der Algenkultur für lange Zeiten?


Ich habe folgende Ansätze:

+ Algen teilen sich also: 2n
+ Aus 2 werden 4, 8, 16, 32 usw. also 2n
+ 20% oder 0.2 sterben durch Eisenknappheit
+ n(t)/t = 2^n - 0.2k*t
+ 1. Ordnung

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Meine Gleichung ist bestimmt falsch, aber welche Werte kann man verwenden? In der Aufgabenstellung kann man nicht viele Zahlen entnehmen.

t(0)=0
1 Alge (Anfangsbedingung)
in 24 Stunden: 2 Algen-0.20=0.40 Algen
t(1)=0.40
t(2)=0,80
t(3)=1,60
t(4)=3,20
t(5)=6,40
t(6)=12,80
t(7)=25,60

Nach 7 Tagen sind es etwa 25 Algen.

Ist das ein Ansatz der in die richtige Richtung geht?

Vermutung c): Für lange Zeit wird die Algenpopulation stabil bleiben.



du hast vergessen, dass mehrmals am Tag Algen entnommen werden.

Ali

Hallo Ali, stimmt du hast Recht, aber welche Differentialgleichung kann man angeben? Schließlich gibt es kaum Werte.


Annahme:
k Algen:

1->2
Mal 0,20 (entspricht 20%)
-x (Mehrere Male wird eine bestimmte Anzahl von Algen entfernt)
Anzahl soll konstant sein

Start:
t(0)=0
t(1)=0,20-x
t(2)=2*0,20=0,4 ->nicht möglich, da Population mind. 2 sein müssen
t(10)=10*0,20-1=1
t(15)=2
t(20)=3

Der Startwert muss also 15 sein.

(?) dk/dx k*0,20-x

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