Exponentialfunktion oder nicht?

Question

Ich verstehe folgende Aufgabe nicht:

Angabe: Von einer reellen Funktion liegen einige Werte vor. Untersuche, ob es sich bei f um eine Exponentialfunktion mit f(x) = c*a^x handeln kann! Falls dies zutrifft, gib eine Termdarstellung von f an! Falls dies nicht zutrifft, untersuche, ob man einen Funktionswert so ändern kann , dass eine Exponentialfunktion vorliegt:

1)
x  (f)x

0  2

1  3

2  4


2)

x    (f)x

-2  50

-1  40

2  20,48


Wie kommt man hier auf eine Lösung?  

Answer 1

Nun, die allgemeine Form der Exponentialfunktion 

f ( x ) = c * a ^x

enthält zwei Parameter, nämlich c und a.

Also stellt man entsprechend der allgemeinen Form aus zweien der drei gegebenen Wertepaare ein Gleichungssystem auf und löst es. Dann schaut man, ob die Lösung zu dem dritten gegebenen Wertepaar passt.

 a)

Man erhält hier aus den ersten beiden Wertepaaren die Gleichungen

2 = c * a ⁰
3 = c * a ¹

<=>

c = 2
3 = 2 * a ¹

<=>

c = 2
a = 3 / 2

Die Exponentialfunktion, die zu den ersten beiden Punkten gehört, ist also :

f ( x ) = 2 * ( 3 / 2 ) ^x

Gilt nun auch für den dritten Punkt f ( 2 ) = 4 ?

Es ist

f ( 2 ) = 2 * ( 3 / 2 ) ² = 2 * ( 9 / 4 ) = 18 / 4 = 4,5  ≠ 4

Also können die drei gegebenen Wertepaare nicht zu einer Exponentialfunktion gehören.

 

b)

Man erhält hier aus den ersten beiden Wertepaaren die Gleichungen

50 = c * a ^{- 2}
40 = c * a ^{- 1}

<=>

50 = c * a ^{- 2}
c = 40 a

<=>

50 = 40 a * a ^{- 2}
c = 40 a

<=>

50 a = 40
c = 40 a

<=>

a = 4 / 5
c = 40 * ( 4 / 5 )

<=>

a = 4 / 5
c = 40 * ( 4 / 5 ) = 32

Die Exponentialfunktion, die zu den ersten beiden Punkten gehört, ist also :

f ( x ) = 32 * ( 4 / 5 ) ^x

Gilt nun auch für den dritten Punkt f ( 2 ) = 20,48 ?

Es ist

f ( 2 ) = 32 * ( 4 / 5 ) ² = 32 * ( 16 / 25 ) = 20,48

Also:

Die drei gegebenen Punkte gehören zu der
Exponentialfunktion f ( x ) = 32 * ( 4 / 5 ) ^x

Answer 2

f ( x ) = c * a^x
a.)
( x  | f ( x ) )
( 0 |  2 )
( 1 |  3 )
( 2 |  4 )

f ( 0 ) = c * a^0 = 2
f ( 1 ) = c * a^1 = 3
f ( 2 ) = c * a^2 = 4
Gleichung 1
c * a^0 = 2  | a^0 = 1
c * 1 = 2
c = 2
Gleichung 2
c * a^1 = 3
2 * a = 3
a = 1.5
ermittelter Term
f ( x ) = 2 * 1.5^x
Gleichung 3
c * a^2 = 4
2 * 1.5^2 = 4
4.5 = 4
Der dritte Punkt liegt nicht auf der Gleichung
Der Punkt ( 2  | 4.5 ) würde die Funktion erfüllen.

b.)
( -2  | 50 )
( -1 |  40 )
( 2   | 20,48 )
f ( -2 ) = c * a^{-2} = 50
f ( -1 ) = c * a^{-1} = 40
f ( 2 ) = c * a^2 = 20.48
Gleichung 2 umgestellen nach c
c * a^{-1} = 40
c = 40 * a
eingesetzt in Gleichung 1
c * a^{-2} = 50
40 * a * a^{-2} = 50
a^{-1 } = 50 /40
a = 40/50 = 0.8
Gleichung 2
c * 0.8^{-1} = 40  | * 0.8
c = 40 * 0.8
c = 32
in Gleichung 3 eingesetzt
32 * 0.8^2 = 20.48
20.48 = 20.48  | stimmt
Alle 3 Punkte liegen auf der Gleichung
f ( x ) = 32 * 0.8^x

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mfg Georg