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Hallo Freunde, 
wie soll ich am besten bei dieser Aufgabe vorgehen ? 
ich hab mir gedacht dass man über die erste Ableitung die Extrema bestimmen kann. 
dann würde ich f ' (x) = 1 bei a raus bekommen und damit kann man doch keine Extrema berechnen oder ? 
wär echt nett wenn ihr mir wieder helfen könnt.  
danke euch :D 

 

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a) Du kannst hier nicht mit dem gewöhnlichen Kriterium der Ableitung heran gehen, weil die Betragsfunktion nicht differenzierbar ist.

Du kannst aber folgende Tatsache ausnutzen:

|c-x| + |x-a| = |c-a|

Dass das so ist kann man sich z.B. bildlich veranschaulichen.

|c-x| ist der Abstand zwischen c und x, |x-a| ist der Abstand zwischen x und a. Addiert ergeben sie (wenn x zwischen a und c liegt) genau den Abstand zwischen c und a, also |c-a|.

Damit erhältst du:

f(x) = |c-a| + |x-b| für a<x<c

Diese Funktion nimmt nun ihr Minimum an, wenn |x-b| ein Minimum annimmt. Da |x-b| immer größer oder gleich 0 ist, ist das genau die Stelle, an der |x-b|=0 gilt, also x=b.

Dort hat sie den Funktionswert f(b) = |c-a|

Für das Maximum gilt:

x = max{|c-a|+|a-b|, |c-a|+|c-b|}

Das hängt eben davon ab, von welchem Rand b weiter entfernt ist.

 

b) Hier sind alle vorkommenden Funktionen differenzierbar, also funktioniert das Ableitungskriterium:

f'(x) = (2(x-a)+2(x-c))/2√((x-a)²+(x-c)²)

Das ist offensichtlich genau dann 0, wenn der Zähler 0 ist aber der Nenner nicht.

0 = 2(x-a) + 2(x-c)

0 = x - a + x - c

2x = a+c

x = (a+c)/2

Setzt man das nun in den Nenner ein, erhält man nicht 0, also handelt es sich wirklich um einen Punkt mit f'(x)=0.

Um sich die zweite Ableitung zu ersparen kann man folgendes Argument nutzen:

Für x gegen ±∞ geht die Funktion stets gegen +∞, also muss der ermittelte Punkt ein lokales (und damit auch das globale) Minimum sein.

Die Funktion hat dort den Wert:

f((a+c)/2) = √((c/2-a/2)² + (a/2-c/2)²) = √(2)/2 * |a-c| = |a-c|/√2

Da die Funktion bei (a+c)/2 ihr einziges Minimum hat, ist sie vorher monoton fallend und danach monoton steigend, also kommen als globale Maxima nur die Ränder des Definitionsbereich in Frage:

f(a) = √(a-c)² = |a-c| = f(c)

Beide Funktionswerte sind gleich, also nehmen sie beide die Rolle des globalen Maximums ein.
Beantwortet von 10 k
Du! bist der Beste :D
Dem kann ich nur uneingeschränkt zustimmen. Ganz dicke Daumen hoch.
+1 Punkt

Man schreibt oft für die Ableitung von Betragsfunktionen:

f(x) = |x|

f ' (x) = |x| / x        Das ist im Prinzip die Signum - Funktion. 

Sie ist für x < 0 immer -1 und für x > 0 immer +1. Das relative Minimum der Betragsfunktion liegt bei x = 0. Ein rel. Max. gibt's nicht.

Nun weiss ich aber nicht, ob dir das weiterhilft.

Hier mal noch der Graph von f(x) für a=1, b=2 und c =4:

Es scheint, dass ein lokales und globales Minimum an der Stelle x=b rauskommen müsste, wenn a<b<c

 

Das globale Max. liegt an dem Rand des Intervalls [a,c] der weiter von b entfernt ist. Hier bei x=4.

Beantwortet von 142 k

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