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Hallöle Leute,

ich habe die folgende Matrix gegeben A∈M(3 : ℤ/3ℤ)

a

 

Die Frage ist nun, ob die Matrix invertierbar ist und wenn ja, dann soll die inverse Matrix bestimmt werden.

Ich habs schon mit LGS versucht, aber wenn ich dann umstelle bekomme ich immer Werte wie 0,5 raus, was aber durch ℤ/3ℤ nicht geht. Oder ich lande irgendwann im Widerspruch. Ich habe von einem Kommilitonen die Matrix bekommen, die er als inverse raus hat.

b

Wenn ich nun aber die beiden Matrizen multipliziere erhalte ich nicht die Einheitsmatrix.

Ist die Matrix wiklich invertierbar? Ich finde meinen Fehler irgendwie nicht.

 

Könnte vielleicht jemand prüfen, ob die zweite Matrix richtig ist bzw. ob die erste invertierbar ist?

(Es reicht mir, wenn mir jemand sagt, ob die erste Matrix invertierbar ist oder nicht, würde das dann gerne alleine versuchen.)

Vielen Dank

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Die Matrix ist invertierbar.

Ich mache das zunächst mal im Bereich R und anschließend für die Resteklasse 3.

Wenn du die Lösung nicht wissen möchtest, dann bitte jetzt nicht weiterlesen.

[2, 0, 2, 1, 0, 0]
[1, 2, 1, 0, 1, 0] I - 2*II
[2, 1, 1, 0, 0, 1] I - III

[2, 0, 2, 1, 0, 0]
[0, -4, 0, 1, -2, 0]
[0, -1, 1, 1, 0, -1] II - 4*III

[2, 0, 2, 1, 0, 0] 2*I + III
[0, -4, 0, 1, -2, 0]
[0, 0, -4, -3, -2, 4]

[4, 0, 0, -1, -2, 4] :4
[0, -4, 0, 1, -2, 0] :(-4)
[0, 0, -4, -3, -2, 4] :(-4)

[1, 0, 0, - 1/4, - 1/2, 1]
[0, 1, 0, - 1/4, 1/2, 0]
[0, 0, 1, 3/4, 1/2, -1]

Die Inverse lautet also

[-1/4, -1/2, 1]
[-1/4, 1/2, 0]
[3/4, 1/2, -1]
Beantwortet von 260 k

Wenn ich in der Resteklasse 3 muss ich leicht anders rechnen.

[-1/4, -1/2, 1]
[-1/4, 1/2, 0]
[3/4, 1/2, -1]

Mit 4 Multiplizieren

[-1, -2, 1]
[-1, 2, 0]
[3, 2, -1]

Und jetzt noch Vielfache von 3 addieren/subtrahieren

[2, 1, 1]
[2, 2, 0]
[0, 2, 2]

Das wär jetzt das Ergebnis für die Resteklasse 3. Dein Kommilitone hat also richtig gerechnet.

@Mathecoach: Du hast in der ersten Zeile etwas anderes als der Kommilitone.

Warum komme ich, wenn ich A * A^(-1) rechne und am Schluss modulo nehme (bei beiden Lösungen), nicht auf die Einheitsmatrix?

Ops. Moment mal.

[2, 0, 2]    [2, 1, 1]
[1, 2, 1] * [2, 2, 0]
[2, 1, 1]    [0, 2, 2]

Ich bekomme hier heraus:

[4, 6, 6]
[6, 7, 3]
[6, 6, 4]

Wenn ich jetzt Vielfache von 3 subtrahiere

[1, 0, 0]
[0, 1, 0]
[0, 0, 1]

Dieses ist bei mir die Einheitsmatrix. Was hattest Du denn heraus Lu? 

Sorry. Ich habe inzwischen mal die Umformung zur Inversen modulo durchgerechnet und komme auf deine Lösung.

Die Multiplikation A*A^(-1) stimmt jetzt auch. (Ich kam erst mal auf 9 statt 7 in der Diagonalen.
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Wenn ich die Determinante von A berechne, bekomme ich 4+0+2-8-2-0 = -4 ≡ 2 (modulo 3).

Somit sollte die Matrix invertierbar sein.

Umformung modulo 3 gerechnet. Also -2 durch 1, -1 durch 2 ersetzt…

2 0 2 1 0 0
1 2 1 0 1 0
2 1 1 0 0 1

1 1 1 1 2 0       I-II
1 2 1 0 1 0
2 1 1 0 0 1

1 1 1 1 2 0
0 1 0 2 2 0        II-I
0 2 2 1 2 1        III - 2*I

1 0 0 2 1 1       I-2*III
0 1 0 2 2 0
0 0 2 0 1 1      III - 2*II

1 0 0 2 1 1
0 1 0 2 2 0
0 0 2 0 4 4         1 durch 4 ersetzt

1 0 0 2 1 1
0 1 0 2 2 0
0 0 1 0 2 2

A^(-1) ist die blaue Matrix.

 

Beantwortet von 141 k

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