Ist die Matrix invertierbar? (in Z/3Z also: Modulo 3)

Question

Ich habe die folgende Matrix gegeben A∈M(3 : ℤ/3ℤ)

\( \begin{pmatrix} \overline{2} & \overline{0} & \overline{2} \\ \overline{1} & \overline{2} & \overline{1} \\ \overline{2} & \overline{1} & \overline{1} \end{pmatrix} \)

Die Frage ist nun, ob die Matrix invertierbar ist und wenn ja, dann soll die inverse Matrix bestimmt werden.

Ich habs schon mit LGS versucht, aber wenn ich dann umstelle bekomme ich immer Werte wie 0,5 raus, was aber durch ℤ/3ℤ nicht geht. Oder ich lande irgendwann im Widerspruch. Ich habe von einem Kommilitonen die Matrix bekommen, die er als Inverse raus hat.

\( \begin{pmatrix} \overline{2} & \overline{2} & \overline{1} \\ \overline{2} & \overline{2} & \overline{0} \\ \overline{0} & \overline{2} & \overline{2} \end{pmatrix} \)

Wenn ich nun aber die beiden Matrizen multipliziere erhalte ich nicht die Einheitsmatrix.

Ist die Matrix wiklich invertierbar? Ich finde meinen Fehler irgendwie nicht.

Könnte vielleicht jemand prüfen, ob die zweite Matrix richtig ist bzw. ob die erste invertierbar ist?

Es reicht mir, wenn mir jemand sagt, ob die erste Matrix invertierbar ist oder nicht, würde das dann gerne alleine versuchen.

Answer 1

Die Matrix ist invertierbar.

Ich mache das zunächst mal im Bereich R und anschließend für die Resteklasse 3.

Wenn du die Lösung nicht wissen möchtest, dann bitte jetzt nicht weiterlesen.

[2, 0, 2, 1, 0, 0]
[1, 2, 1, 0, 1, 0] I - 2*II
[2, 1, 1, 0, 0, 1] I - III

[2, 0, 2, 1, 0, 0]
[0, -4, 0, 1, -2, 0]
[0, -1, 1, 1, 0, -1] II - 4*III

[2, 0, 2, 1, 0, 0] 2*I + III
[0, -4, 0, 1, -2, 0]
[0, 0, -4, -3, -2, 4]

[4, 0, 0, -1, -2, 4] :4
[0, -4, 0, 1, -2, 0] :(-4)
[0, 0, -4, -3, -2, 4] :(-4)

[1, 0, 0, - 1/4, - 1/2, 1]
[0, 1, 0, - 1/4, 1/2, 0]
[0, 0, 1, 3/4, 1/2, -1]

Die Inverse lautet also

[-1/4, -1/2, 1]
[-1/4, 1/2, 0]
[3/4, 1/2, -1]

Wenn ich in der Resteklasse 3 muss ich leicht anders rechnen.

[-1/4, -1/2, 1]
[-1/4, 1/2, 0]
[3/4, 1/2, -1]

Mit 4 Multiplizieren

[-1, -2, 1]
[-1, 2, 0]
[3, 2, -1]

Und jetzt noch Vielfache von 3 addieren/subtrahieren

[2, 1, 1]
[2, 2, 0]
[0, 2, 2]

Das wär jetzt das Ergebnis für die Resteklasse 3.

Kontrolle

[2, 0, 2]    [2, 1, 1]
[1, 2, 1] * [2, 2, 0]
[2, 1, 1]    [0, 2, 2]

Ich bekomme hier heraus:

[4, 6, 6]
[6, 7, 3]
[6, 6, 4]

Wenn ich jetzt Vielfache von 3 subtrahiere

[1, 0, 0]
[0, 1, 0]
[0, 0, 1]

Dieses ist bei mir die Einheitsmatrix. Was hattest Du denn heraus Lu?

Answer 2

Wenn ich die Determinante von A berechne, bekomme ich 4+0+2-8-2-0 = -4 ≡ 2 (modulo 3).

Somit sollte die Matrix invertierbar sein.

Umformung modulo 3 gerechnet. Also -2 durch 1, -1 durch 2 ersetzt…

2 0 2 1 0 0
1 2 1 0 1 0
2 1 1 0 0 1

1 1 1 1 2 0       I-II
1 2 1 0 1 0
2 1 1 0 0 1

1 1 1 1 2 0
0 1 0 2 2 0        II-I
0 2 2 1 2 1        III - 2*I

1 0 0 2 1 1       I-2*III
0 1 0 2 2 0
0 0 2 0 1 1      III - 2*II

1 0 0 2 1 1
0 1 0 2 2 0
0 0 2 0 4 4         1 durch 4 ersetzt

1 0 0 2 1 1
0 1 0 2 2 0
0 0 1 0 2 2

A^{-1} ist die blaue Matrix.