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Ich brauch Hilfe bei folgender Aufgabe :

"Die Funktionen f mit f(x) = 0,25ex + 2 und g mit g(x) = 3 – e-x sowie die zugehörigen Schaubilder K von f und G von g seien gegeben.

Gegeben sei nun eine Gerade mit der Gleichung x = u. Diese Gerade schneidet K im Punkt P und
G im Punkt Q. Für welche Werte von u beträgt der Abstand zwischen P und Q 0,25 LE?"

Ich vermute, dass mit LE Längeneinheiten gemeint ist

von

2 Antworten

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d(x) = f(x) - g(x) = 0,25*e^x + 2 - (3 - e^-x) = 1/4 e^x + e^{-x} - 1

1/4 e^x + e^{-x} - 1 = + 0.25

 

e^x + 4 e^{-x} - 4 - 1 = 0

(e^x)^2 - 5e^x  + 4 = 0

 

e^x = 1

x = ln(1) = 0

e^x = 4
x = ln(4)

u muss also 0 oder ln(4) sein.

von 418 k 🚀
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Es handelt sich um eine horizontale Gerade. Die Schnittpunkte sind also einfach:

(u, f(u)) und (u, g(u))

Ihr Abstand beträgt:

d(u) = |f(u)-g(u)|

d(u) = |0.25eu+2-3+e-u| = |0.25eu+e-u-1|


Um den Betrag zu umgehen, lassen wir die Betragsstriche weg und betrachten d*(u) = 0.25 und d*(u)=-0.25 einzeln:

 

I) 0.25 = 0.25eu+e-u-1 |-0.25

0 = 0.25eu + e-u - 1.25  |*4eu

0 = (eu)2 + 4 -5eu | z:=eu

0 = z2 - 5z + 4

pq-Formel: z1/2 = 5/2 ± √(25/4 - 16/4)

z1 = 1  ⇒ u1 = ln(z1) = 0

z2 = 4  ⇒ u2 = ln(z2) = ln(4) = 2ln(2)

 

II) -0.25 = 0.25eu+e-u-1

Führt völlig analog auf die Gleichung:

0 = z2-3z+4

pq-Formel: z3/4 = 3/2 ± √(9/4 - 16/4) = 3/2 ± √(-7/4)

keine weiteren reellen Lösungen!

 

Die einzigen Lösungen sind also

u1 =  0
u2 = 2ln(2)

von 10 k

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