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Ich habe in meinem Seminar eine Aufgabe und tue mich sehr schwer damit eine Lösung zu finden und sie korrekt aufzuschreiben bzw. darzustellen.

Gegeben sind 2n Punkte in der Ebene. Gibt es dann immer eine Gerade g, so dass auf beiden Seiten von g jeweils n Punkte liegen ? Untersuche auch das räumliche Problem.

Mein Vorschlag wäre die Punkte auf der x-Ebene zusammenzufassen und bei der hälfte eine senkrechte gerade zu ziehen. Falls nicht möglich das gleiche auf der y- Ebene. Ich vermute dass es immer möglich ist eine grade ( waagrecht oder senkrecht) zu ziehen.

Hat jemand eine idee wie sich das beweisen und darstellen lässt ?
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Wenn die Geraden nur waagrecht und senkrecht sein dürfen, geht das nicht. Ist das eine Voraussetzung?

Betrachte die 4 Punkte:

   x
x    x
   x

Das wäre ein Gegenbeispiel.
Ja das geht nicht. Aber das war in der Aufgabe auch denke ich nicht gefordert. Und in dem Beispiel gibt es eine Gerade die die Menge an Punkten genau in 2 gleich große Teile teilt. Die Frage ist nur ob das immer geht. Mir fällt zumindest gerade kein Beispiel ein wo es nicht geht.
So einen ähnlichen Beweis hatte ich mal gesehen, da gings darum, dass man g so legt, dass alle 2n Punkte über g liegen und g dann so dreht, bis n Punkte unterhalb von g liegen. Das hat jetzt noch seine Tücken, aber vielleicht hilft es weiter.

1 Antwort

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die Antwort ist ja. Der Begründung liegt in der Tatsache, dass eine endliche Punktmenge auch eine endliche Anzahl von Verbindungsgeraden paarweiser Punkte hat. (Zum Beispiel haben 4 Punkte insgesamt 6, also endlich viele, Verbindungsgeraden.)

Zu einer endlichen Anzahl von Geraden \( g_i \) kann man eine Gerade \( g^* \) finden, die zu keiner dieser Geraden parallel ist. Diese Gerade \( g^* \) verschiebt man nun geeignet.

Man weiß nun dabei, dass es immer genügend kleine \( \epsilon \) gibt, sodass die Verschiebung der Geraden \( g^* \) um \( \epsilon \) (ohne Einschränkung zum Beispiel senkrecht zur Geraden \( g^* \)) diese über maximal einen Punkt hinweggehen lässt. Somit kann man ausgehend von der Teilung in die Hälften \( 0 \) und \( 2n \), das heißt die Gerade \( g^* \) liegt außerhalb der Punktmenge (kreuzt keine Verbindungsstrecke \( \bar{g_i} \)), die Gerade \( g^* \) solange um verschiedene entsprechende \( \epsilon_i \) verschieben, bis die Teilung \( n \) und \( n \) erreicht ist.

Es genügen dabei \( n \) Verschiebungen um \( \epsilon_i \). Die Gesamtverschiebung beträgt dann

\( \epsilon = \sum_{i=1}^{n} \epsilon_i \)

von der beliebigen Ausgangslage außerhalb der Punktmenge ausgehend zu jener Lage, die die Punktmenge in \( n \) und \( n \) Punkte aufteilt.

MfG

Mister

PS: Das gleiche beziehungsweise ein ähnliches Argument kann man auch für Punktmengen im Raum und Ebenen konstruieren: Man konstruiert die Teilungsebene \( G^* \) dann aus zwei nicht parallelen Geraden \( g^*_1 \) und \( g^*_2 \), die zu allen Verbindungsgeraden nicht-parallel sind, sodass \( g^*_1 \) und \( g^*_2 \) die Ebene \( G^* \) aufspannen.
Avatar von 8,9 k
Super ! Ausgezeichnete Lösung vielen Dank ! Sehr gut erklärt es hat mir sehr weitergeholfen !
Danke, ich hab' mir auch echt Mühe gegeben.

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