Schnittpunkte der Funktionen f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 und g(x) = -9x^2 + 9?

Question

Ich habe die Funktionen f(x) = x⁴ - 5x² + 4 sowie g(x) = -9x² + 9 und soll die Schnittpunkte berechnen.

Mein Rechenweg:
Gleichgesetzt, z=x² eingesetzt, pq-Formel von z² + 4z -5 = 0.
Da habe ich jetzt z₁ = 1, z₂= -5 raus. Wenn ich da nun die Wurzel ziehe, komme ich auf x₁ = 1, x₂ = -1, x₃ = \( \sqrt{5} \) , x₄ = -\( \sqrt{5} \).
Wenn ich nun aber diese x-Werte in meine Funktionen einsetze, komme ich nicht auf gleiche y-Werte in beiden Funktionen. Was mache ich falsch??

Answer 1

f(x) = x^4 - 5x^2 + 4   sowie g(x) = -9x^2 + 9

±1 ist ok.

±√5 stimmt nicht.

Du solltest x^2 = - 5 haben. Diese Gleichung hat keiner reellen Lösungen. Deshalb kommst du mit √5 auch nicht auf dasselbe in f und g.

Du könntest die imaginären Zahlen ± i√5 einsetzen. Das ginge, macht aber in IR keinen Sinn.

Answer 2

Tipp: Immer zuerst den Funktionsplotter benutzen und die Funktionsgraphen zeichnen, um zu erkennen, wie viele Schnittpunkte es gibt und wo diese etwa liegen.

f(x) = x^4 - 5x^2 + 4

g(x) = -9x^2 + 9

Answer 3

Schnittpunkte der Funktionen \(f(x) = x^4 - 5x^2 + 4\) und \(g(x) = -9x^2 + 9\)?

Ohne Substitution:

\( x^4 - 5x^2 + 4= -9x^2 + 9\)

\( x^4 + 4x^2  =  5\)    quadratische Ergänzung:

\( x^4 +4x^2 +(\frac{4}{2})^2 =  5+(\frac{4}{2})^2\)  1.Binom:

\( (x^2 + \frac{4}{2})^2 =  9   |±\sqrt{~~}\)

1.)

\( x^2 + 2=  3 \)

\( x^2=  1 |±\sqrt{~~} \)

\( x_1=1 \)    \(g(1) = 0\)

\( x_2=-1 \)     \(g(-1) = 0\)  

2.)

\( x^2 +2=  -3 \)

\( x^2 =  -5=5 i^2 |±\sqrt{~~} \)

\( x_3 =\sqrt{5 i^2}=i\sqrt{5 }  \)

\( x_4 = -i\sqrt{5 } \)

Das sind keine Lösungen ∈ ℝ

Comments

Gefragt 28 Jan 2013 von Gast

"Wer zu spät kommt, der stirbt in Chile." (Erich H., deutscher Dachdecker und Politiker)

---

"Niemand hat die Absicht, eine Mauer zu errichten." (Walter U., sächsischer Mundartsprecher aus der Zeit des großen Mao)

---

"Das tritt nach meiner Kenntnis... ist das sofort ... unverzüglich."

Günter S. (deutscher Politiker) auf die telefonische Nachfrage seines Sohnes, wie die Marsch-ins-Bett-Order der Mutter zu verstehen sei. Er wurde von anwesenden Journalisten missverstanden.