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Man betrachte den Vektorraum der Polynome höchstens zweiten Grades P3(x) mit dem inneren Produkt 

<p,q>=$$\int _{ -1 }^{ 1 }{ p(x)q(x)dx }$$

Sind die Polynome p=x und und q=x2 orthogonal zueinander? 

Sind die Polynome p=x3+1 und q=x-1 linear unabhängig? 

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in einem Hilbertraum sind zwei Elemente senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt:

\( <p, q> = \int_{-1}^{1} p(x) q(x) dx = [ \frac{x^4}{4} ]^{1}_{-1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 \).

Diese Polynome sind senkrecht zueinander.

MfG

Mister
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wie kommst du auf x4/4 ?

Es ist die Stammfunktion von \( x^3 \).
Die Polynome \( p \) und \( q \) sind linear unabhängig, wenn ihr "Winkel" ungleich \( 0 \) ist, also der Kosinus dieses Winkels ungleich \( 1 \), das heißt, wenn gilt

\( <p, q> \neq \sqrt{<p, p>} \sqrt{<q, q>} \),

ausgehend von der Formel

\( <p, q> = \sqrt{<p, p>} \sqrt{<q, q>} \cdot \cos(\alpha(p, q)) \),

wobei wiederum

\( |p| \equiv \sqrt{<p, p>} \)

definiert ist. Vergleiche mit  https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt .
Könntest du die Lineare Abhängigkeit explizit bei dieser Aufgabe zeigen?
Das kannst du prinzipiell auch selbst, du weißt ja, wie das Skalarprodukt definiert ist und wie man es ausrechnet. Du musst \( < p, q > \), \( < p, p > \) und \( < q, q > \) bestimmen.
Ja, <p,q>, <p,p> und <q,q> sind 3 Elemente der Gramschen 2x2-Matrix G(p,q) ( das 4te Element ergibt sich durch die Symmetrie des Skalarprodukts ). Und 2 Vektoren p,q sind genau dann linear unabhängig, wenn det G( p, q ) ungleich 0 ist.
Interessante Sichtweise. Dies ist äquivalent zu der Aussage

\( <p, q> \neq \sqrt{<p, p>} \sqrt{<q, q>} \).

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