Rang, Kern und Bild einer Matrix bestimmen

Question

Folgende Matrix ist gegeben ich soll den Rank, Kern und das Bild in Abhänigkeit von a bestimmen.

           3   -1   2

A =     1    2   1

           a   -1   0


Für den Kern hab ich herausbekomen, dass er nur existiert bei a = 1/5

Danach wollte ich den Kern mit hilfe von Gauß berechnen kriege aber heraus x1 = 0 x2 = 0 x3 = 0

Was mache ich da falsch??

Und wie berechne ich Bild und Rang??

Comments

Ich hab jetzt den Kern selber rausbekommen er lautet (5, 1, -7)^T

fehlt nur noch das bild und der rang :(

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Das Bild wird von der Spaltenvektoren der Matrix aufgespannt.
Hoffe, dass das hilft.

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Lu, wenn du das gut kannst, könntest du bitte eine etwas ausführlichere Lösung hinschreiben? Mich interessiert das auch sehr, solche Aufgaben haben wir nämlich komischer Weise nie gemacht, obwohl 2. Semester lineare Algebra... ^^ Danke

Answer 1

Der Kern einer Matrix ist definiert als der Kern der linearen Abbildung Ax = 0.

In deinem Fall also die Lösungsmenge der erweiterten Koeffizientenmatrix

$$(A|0) =\begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 & | & 0 \\ 1 & 2 & 1 & | & 0 \\ a & -1 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}$$

in Abhängigkeit von a.

Nach ein paar Zeilenumformungen kommt bei mir da raus:

$$\begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 & | & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & \frac{1}{3} & | & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{5}{7}a + \frac{1}{7} & | & 0 \end{bmatrix}$$

Der Kern ergibt sich dann für
$$a = \frac{1}{5}$$ zu $$\{ (\lambda, -\frac{1}{7}\lambda, -\frac{5}{7}\lambda)~ | ~\lambda \in \mathbb{R} \}$$
da die letzte Zeile komplett 0 wird, und für
$$a \neq \frac{1}{5}$$ ist der Nullvektor die einzige Lösung.

Der Rang ist jetzt einfach: Die letzte Zeile wird bei a = 1/5 komplett 0 => rang( A ) = 2. Sonst, wenn a ungleich 1/5 ist rang( A ) = 3.

Am Bild sitze ich auch noch dran..

Comments

Ich meine, das Bild ist ja eigentlich nur die lineare Hülle der Spaltenvektoren, also

$$\{ (3,1,a) \lambda_1 + (-1,2,-1) \lambda_2 + (2,1,0) \lambda_3 ~|~ \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, a \in \mathbb{R} \} $$

Wüsste nicht, was man da weiter bestimmen soll.

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Hallo Thilo87

Man kann beim Kern noch auf die 7 verzichten, wenn man keine Brüche haben will:

K = { (7k, -1k, -5k) | k Element R} 

Achtung: Deine Antwort weicht hier (leicht?) von der des Fragestellers ab. Bitte beide nochmals nachrechnen.

Nach deinen Zeilenumformungen weisst du, dass der Rang der Matrix und daher die Dimension des Bildes 2 ist, gdw a=1/5.

Für a = 1/5 kannst du sagen, dass (3,1, 1/5) [oder (15,5,1)] und (2,1,0) das Bild aufspannen.

Grund: Matrix nenne ich mal A.

A(1,0,0) gibt die erste Spalte als Bildvektor

A(0,0,1) gibt die dritte Spalte als Bildvektor

Die 2. Spalte sollte sich nun als Linearkombination der beiden gefundenen Vektoren berechnen lassen, wenn a= 1/5 stimmt.

Ich kontrolliere das mal noch:

(15,5,1) + (-1,2,-1) = (14,7,0) = 7*(2,1,0)

Hoffe, das ist nun etwas klarer.

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Anmerkung: 'In Abhängigkeit von a' in der Aufgabenstellung heisst, dass du auch noch den Fall a ≠ 1/ 5 behandeln musst.

Kern ist da nicht interessant.

Dimension und Rang des Bildes ist 3. Daher ganz R^3.

Answer 2

Hier die Sache ist doch ganz einfach; du berechnest die Determinante.

det = 3 * 2 * 0  - 1 * 1 * a + 2 * 1 * ( - 1 )  - 2 * 2 a  - ( - 1 ) * 1 *  0  - 3 * 1 * ( - 1 ) = 0    ( 1a )

- 5 a + 1 = 0  ===> a = 1/5    ( 1b )

Was heißt das? Für a < > 1/5 ist das Bild ganz |R ³ , für a = 1/5  müssen doch logisch Spalte 2 und 3  immer noch linear unabhängig sein. Also ist das das Bild; okay? Okay. Für a = 1/5 würd ich erst mal alles auf Ganzzahlig bringen:

3 x - y + 2 z = 0 | : y   ( 2a )

x + 2 y + z = 0 | : y    ( 2b )

x - 5 y = 0 | : y   ( 2c )

ich setze noch

X  :=  x / y  ;  Z  :=  z 7 y   ( 3 )

Dann lauten ( 2a-c )

3 X + 2 Z = 1     ===> Z = ( - 7 )     ( 3a )

X + Z = ( - 2 )   ===> Z = ( - 7 )      ( 3b )

X = 5  ( 3c )