Konvergenz von Reihe mit Fakultät: ( ( ∑ unendlich ; v=0) = ((v^2) (8^v )) / v! )

Question

ich brauch mal eure Hilfe bzw. einen Denkanstoß!

Wir sollen die Konvergenz der Folgenden Reihe:
(   ( ∑ unendlich ; v=0) = ((v^2) (8^v )) / v!  )

Konvergiert jetzt diese Reihe oder ist sie Divergent?! woran erkenne ich das?!

Und sehe ich es richtig, dass diese Reihe mit dem Wurzelkriterium löse?!

vielen Dank schon mal!

Liebe Grüße

Fabian

Comments

Zum Überprüfen der Konvergenz gibt es ein paar Möglichkeiten,u.a. Quotientenkriterium, Wurzelkriterium und Majoranten/Minorantenkriterium. Such dir eins aus.

Answer 1

Die Reihe konvergiert.

Der Beweis kann z.B. mit dem Quotientenkriterium erbracht werden.

Es gilt:

$$\frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } } =\frac { \frac { { (v+1) }^{ 2 }*{ 8 }^{ v+1 } }{ (v+1)! }  }{ \frac { { v }^{ 2 }*{ 8 }^{ v } }{ v! }  }$$$$=\frac { { (v+1) }^{ 2 }*{ 8 }^{ v+1 } }{ (v+1)! } *\frac { { v }^{ 2 }*{ 8 }^{ v } }{ v! }$$$$=\frac { { (v+1) }^{ 2 }*{ 8 }^{ v+1 } }{ (v+1)! } *\frac { v! }{ { v }^{ 2 }*{ 8 }^{ v } }$$$$=\frac { { (v+1) }^{ 2 }*{ 8*8 }^{ v } }{ v!(v+1) } *\frac { v! }{ { v }^{ 2 }*{ 8 }^{ v } }$$$$=\frac { { (v+1) }^{ 2 }*{ 8 } }{ (v+1) } *\frac { 1 }{ { v }^{ 2 } }$$$$=\frac { { (v+1) }^{ 2 }*{ 8 } }{ (v+1)*{ v }^{ 2 } }$$$$=\frac { { (v+1) }*{ 8 } }{ { v }^{ 2 } }$$$$=\frac { { 8v+8 } }{ { v }^{ 2 } } <\frac { 80 }{ 81 } =q $$für alle v > 9, v ∈ N, also für fast alle v ∈ N => Konvergenz