Konvergenz einer Folge zeigen

Question

Es sei (a_n) n∈ℕ eine reelle Folge mit a_n≥0. Zeige,dass die Folge ((-1)ⁿ a_n ) n∈ℕ genau dann konvergiert, wenn

lim (n→∞) a_n= 0 gilt.

In  diesem Fall gilt auch lim (n→∞) (-1)ⁿ a_n = 0

Dies ist die gegebene Aufgabe. Wie macht man das hier?

Answer 1

Betrachte die Folge an mit dem Grenzwert a.

Nun betrachten wir die folge bn mit
bn = (-1)^n * an

Betrachten wir jetzt nur alle Geraden Folgeglieder

b(2n) = (-1)^{2n} * a(2n) = a(2n)

dann ist der Grenzwert a

Betrachten wir alle ungeraden Folgeglieder

b(2n + 1) = (-1)^{2n + 1} * a(2n + 1) = - a(2n)

Dann ist der Grenzwert - a

Für a = 0 konvergiert die Folge bn gegen 0 Für a <> 0 haben wir 2 Häufungspunkte einmal + a und einmal - a.