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Hallo Ihr,


Ich habe folgende Aufgabe bekommen und weiß leider nicht, wie ich diese bearbeiten soll, für jegliche Hilfe wäre ich sehr dankbar!!!

Man soll den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe:


Berechnen Sie die folgende Summe: ∑ (unendlich ; k=1)    ((-1)^{k} (e^{-4k}/3^{2k}) (x-2)^k


vielen Dank!
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Zunächst eine Umformung des Koeffizienten:

$$\frac { { (-1) }^{ k }{ e }^{ -4k } }{ { 3 }^{ 2k } } =\frac { { (-1) }^{ k } }{ { e }^{ 4k }{ 3 }^{ 2k } } =\frac { { (-1) }^{ k } }{ { ({ e }^{ 2 }) }^{ 2k }{ 3 }^{ 2k } } =\frac { { (-1) }^{ k } }{ { (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2k } }$$

Nun Berechnung des Konvergenzradius r mit der  Quotientenformel:

$$r=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \left| \frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n+1 } }  \right|  }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \left| \frac { \frac { { (-1) }^{ k } }{ { (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2k } }  }{ \frac { { (-1) }^{ k+1 } }{ { (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2(k+1) } }  }  \right|  }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \left| \frac { { (-1) }^{ k } }{ { (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2k } } *\frac { { (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2k+2 } }{ { (-1) }^{ k+1 } }  \right|  }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \left| \frac { { (-1){ (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2k }{ (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2 } } }{ { (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2k } }  \right|  }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \frac { { { (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2k }{ (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2 } } }{ { (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2k } }  }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ { (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2 } }$$$$=9{ e }^{ 4 }$$
Avatar von 32 k
Sind bei solchen aufgaben die aufgaben stellung so das sich die k aufheben? Danke

Nein, nicht unbedingt. 

Wenn sich, wie vorliegend, das k heraushebt, ist die Bestimmung des Grenzwertes für k -> ∞ sehr einfach, weil dann der Term, von dem der Grenzwert bestimmt werden muss, nicht von k abhängt. Der Grenzwert des Terms ist dann einfach der Term selber.

Bei "schwierigeren" Aufgaben, bei denen sich das k nicht heraushebt, muss eben der Grenzwert anders bestimmt werden.

Beispiel:

k=1 (1 / k 2) x k

r = lim k->oo  | (1 / k 2) / (1 / ( k + 1 ) 2) |

= lim k->oo ( k + 1 ) 2 / k 2

= lim k->oo ( k 2 + 2 k + 1 ) / k 2

= lim k->oo ( 1 + ( 2 / k ) + ( 1 / k 2) )

Hier hebt sich das k nicht heraus. Die Bestimmung des Grenzwertes ergibt:

= 1

Mir ist leider nicht klar warum x verschwindet? Und dann in der hochzahl eine 2 steht?ich hätte gedacht da muss x^k+1 stehen.

Nun, Es soll ja der Konvergenzradius r einer Reihe ∑k=1 ak x k bestimmt werden. Bei Vorliegen bestimmter Voraussetzungen gilt:

r = lim k->oo  | ak / ak+1 |

Es werden also nur die Koeffizienten ak betrachtet, die Potenz x k selber spielt bei der Bestimmung des Konvergenzradius keine Rolle.

 

Und dann in der hochzahl eine 2 steht?ich hätte gedacht da muss xk+1 stehen.

Bezieht sich das auf die ursprüngliche Aufgabe oder auf das Beispiel in meinem Kommentar? 

Ah ok dir formel hab ich nicht gekannt. X^{k+1} sollte es sein, das war für die selbe aufgabe gestellt. Ich danke dir war hilfreich für mich^^

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