Analytischen Geometrie: Schnittpunkte von Geraden, Ebenen und Aufstellen einer Geradengleichung.

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Gerade \( G_{0}=\left\{\vec{x}=(-1,-2,-5)^{\top}+s(2,1,0)^{\top}: s \in \mathbb{R}\right\}, \) die Gerade \( G_{1}, \) die durch die Punkte \( A=(0,-1,-3) \) und \( B=(6,5,9) \) verläuft sowie die durch \( z=0 \) beschriebene Ebene \( E \)
a) Zeigen Sie, dass sich \( G_{0} \) und \( G_{1} \) schneiden und berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes.
b) Berechnen Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes von \( G_{1} \) durch \( E \)
c) Berechnen Sie eine Gerade \( G_{2}, \) die senkrecht auf \( E \) steht und sowohl \( G_{0} \) also auch \( G_{1} \) schneidet.

Answer 1

Ich gebe nur mal die Ansätze und die Lösungen. Ich denke das Auflösen wirst Du selber schaffen. Das sind ja nur lineare Funktionen und nichts weltbewegendes.

a)
[-1, -2, -5] + s·[2, 1, 0] = [0, -1, -3] + t·([6, 5, 9] - [0, -1, -3])
Lösung s = 0 ∧ t = - 1/6
Man erhält durch Einsetzen den Schnittpunkt: [-1, -2, -5]

b)
[0, -1, -3] + t·([6, 5, 9] - [0, -1, -3]) = [x, y, 0]
Lösung: x = 3/2 ∧ y = 1/2 ∧ t = 1/4
Man erhält damit für den Durchstoßpunkt: [3/2, 1/2, 0]

c)
Wir brauchen nur eine Gerade die durch den Schnittpunkt von a) geht und den Normalenvektor von E hat.
G2: x = [-1, -2, -5] + r * [0, 0, 1]

Comments

verstehe deine rechenweg bei b nicht

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@Anonym: Für die Ebene E gilt z=0. Deshalb enthält sie alle Punkte mit den Koordinaten (x,y,0)

In der Gleichung steht links die Parametergleichung der Geraden und rechts ein Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf E.

[0, -1, -3] + t·([6, 5, 9] - [0, -1, -3]) = [x, y, 0]

Nun kannst du 3 Komponentengleichungen rauslesen und daher die 3 Unbekannten berechnen.
Lösung: x = 3/2 ∧ y = 1/2 ∧ t = 1/4
Man erhält damit für den Durchstoßpunkt: [3/2, 1/2, 0]