0 Daumen
633 Aufrufe
Um die Bewegungsrichtung von Flugzeugen zu beschreiben,wird ein Koordinatensystem benutzt.In diesen Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit der Strecke von 1km. Eine Hauptflugrichtung wird durch die Funktion f mit der Funktionsgleichung y=f(x)=-1/2 x + 3 beschrieben. Ein Fluglotse beobachtet ein Flugzeug auf einem anderen Kurs und notiert die Punkte A ( -1; -4) B ( 1;0) Das Flugzeug legt die Strecke vom Punkt A zum Punkt B in 45s zurück. Bestimmen sie rechnerisch die Fluggeschwindigkeit in km/h .
Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Die Angabe über die Hauptflugrichtung inkl. der zugehörigen Funktionsgleichung ist für die Lösung dieser Aufgabe unerheblich. Es kommt lediglich auf die Koordinaten der Punkte A und B sowie die Flugzeit zwischen A und B ( 45 s ) an.

Die Länge der von dem Flugzeug zurückgelegten Strecke AB ist:

| AB | = | B - A |

= | ( 1 ; 0 ) - ( - 1 ; - 4 ) |

= | ( 2 ; 4 ) |

= √ ( 2 2 + 4 2 )

= √ ( 20 ) km

 

Diese Strecke legt das Flugzeug in 45 Sekunden zurück. Seine Geschwindigkeit v beträgt somit:

v = √ ( 20 ) km / 45 s

= ( √ ( 20 ) / 45 ) km/s

= ( √ ( 20 ) / 45 ) km/s * 3600 s/h

≈ 357,771 km/h

Avatar von 32 k
Dankeschön für deine Antwort:) Ich hätte noch zwei Fragen wie kann man den Sachverhalt in einen geeigneten Koordinatensystem darstellen und wie berechneten man von den zwei geraden den Schnittpunkt? Wäre sehr nett wenn du mir helfen könntest

Aha, jetzt kommt die Hauptflugrichtungsgleichung ins Spiel.

Nun, nimm ein Koordinatensystem und zeichne die Hauptflugrichtungsgerade mit der Gleichung:

f ( x ) = - ( 1 / 2 ) x + 3

ein ( Steigung - 1 /2 , y-Achsenabschnitt 3 )

Zeichne dann die Punkte A und B ein und verbinde sie durch eine Gerade. Das ist die Flugbahn des betrachteten Flugzeugs.

Um den Schnittpunkt rechnerisch zu bestimmen, musst du zunächst die Geradengleichung g ( x ) der Flugbahn des betrachteten Flugzeugs ermitteln. Durch die zwei Punkte A und B ist diese Gerade eindeutig festgelegt.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, aus diesen beiden Punkten die Geradengleichung zu ermitteln. Eine davon ist folgende:

Da beide Punkte auf der Geraden liegen sollen, müssen sie beide die allgemeine Geradengleichung

y = m x + b

erfüllen. Stelle also zwei Gleichungen auf.

Punkt A: 

- 4 = m * ( - 1 ) + b

Punkt B:

0 = m * 1 + b

und löse dieses Gleichungssystem auf:

Aus der ersten Gleichung folgt:

b = m - 4

Einsetzen in die zweit Gleichung ergibt:

0 = m + m - 4

<=> 2 m = 4

<=> m = 2

Aus der violett gesetzten Gleichung erhält man damit:

b = 2 - 4

<=> b = - 2

Somit lautet also die Gleichung der Geraden g (Flugbahn des betrachteten Flugzeugs):

g ( x ) = 2 x - 2

 

Um nun den Schnittpunkt von f ( x ) und g ( x ) zu bestimmen, setzt man deren Funktionsterme einander gleich, also:

- ( 1/2 x ) + 3 = 2 x -2

und löst nach x auf:

2,5 x = 5

x = 2

Das ist die x-Koordinate des Schnittpunktes. Die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen der x-Koordinate in eine der beiden Funktionsgleichungen (ich nehme g ( x ) ) :

g ( 2 ) = 2 * 2 - 2 = 2

Also hat der Schittpunkt S die Koordinaten

S ( 2 ; 2 )

Hier ein Schaubild mit den Graphen der beiden Flugbahnen. Den Schnittpunkt kann man ablesen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-%281%2F2%29x%2B3%2C2x-2+from+-2+to4

 

die beiden Geraden ein

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community