Halbwertzeit - Warum wird in diesem Fall eine e-Funktion als Formel verwendet?

Question

Warum lautet Brinkmann's Formel so?

Meine Formel:
\( A(t)=4000 * 0.5^{\frac{t}{8}} \)

Brinkmann's Formel:
\( A(t)=4000 e^{-\frac{\ln (2)}{8} t} \)

Umformung von Brinkmann's Formel in meine:
\( A(t)=4000 e^{-\frac{\ln (2)}{8} t}=\frac{4000}{e^{\frac{\ln (2) t}{8}}}=\frac{4000}{e^{\ln (2) \frac{t}{8}}}=\frac{4000}{e^{\ln (2)^{\frac{1}{8}}}}=\frac{4000}{2^{\frac{t}{8}}}=4000 * 2^{-\frac{t}{8}}=4000 * 0.5^{\frac{t}{8}} \)

Exponentielle Abnahme
Radioaktive Stoffe zerfallen in gleichen Zeitspannen jeweils mit demselben Faktor. Ihre Halbwertszeit gibt an, nach welcher Zeit nur noch die Hälfte der ursprünglichen Aktivität vorhanden ist. Die Aktivität A(x) wird gemessen in Megabecquerel ( \( 1 \mathrm{MBq}=10^{6} \) Zerfälle pro Sekunde).

Für medizinische Untersuchungen wird Jod 131 mit einer Halbwertszeit \( \left(t_{h}\right) \) von 8 Tagen verwendet. Dabei werden dem Patienten \( \mathrm{A}_{0}=4000 \mathrm{MBq} \) verabreicht. Nach wie viel Halbwertzeiten bzw. Tagen beträgt die Restaktivität im Körper höchstens noch 400 MBq?

Zeichnen Sie den Graphen, lesen Sie die ungefähre Zeit ab und berechnen Sie den genauen Wert. radioaktives Zerfallsgesetz: \( A(x)=A_{0} \cdot e^{-\frac{\ln 2}{t_{h}} \cdot t} \) dabei bedeuten:

\( A_{0}= \) Anfangsaktivität in \( \mathrm{MBq} ; t_{h}= \) Halbwertszeit in Tagen \( ; \mathrm{t}= \) Zeit in Tagen

Answer 1

Du kannst vorgehen, wie es dir einfacher ist, wenn da in der Aufgabenstellung nicht explizit was anderes verlangt ist.

Die zahlenmässigen Resultate sollten dann aber gleich sein.

Comments

Ja, die Ergebnisse sind auch dieselben.

Aber wozu existiert diese Formel?
Gibt es ein Anwendungsbeispiel, bei dem diese Formel sinnvoller wäre?
Ich möchte gerne verstehen, warum es umständlicher geschrieben wird.
Das ist doch so als würde man (√x)² schreiben ...

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Das ist doch so als würde man (√x)² schreiben .

Achtung:  (√x)² ist nur für x≥0, x Element R definiert.

Nun zur Halbwertszeit:

Viele haben Probleme mit andern Basen. Speziell mit gebrochenen Basen.

Bei efunktionen sind logarithmieren und ableiten besonders einfach.

Ich finde aber die efunktion bei Halbwertszeiten auch unhandlich.

Answer 2

Zunächst erscheint deine Formel zur exponentiellen Abnahme
bei Halbwertzeiten deutlich einfacher als die Nutzung einer e-Funktion.
Man muß sie sich nur merken oder im Kopf haben.

Ich bevorzuge die allgemeine Form
A ( t ) = A0 * e^{a*t}

In deinem Beispiel kann reduziert werden auf
A ( t ) / A0 = 4000 / 2000 = 0.5 ( 50 % Material ist noch vorhanden )
0.5 = e^{a*8}
a*8 = ln(0.5)
a = ln(0.5)/8
a = -0.0866
und entspricht somit dem Faktor im Exponenten bei Brinkmann
- ln(2) / 8

Mit Hilfe von 2 Punkten läßt sich jede exponentielle Zu- oder
Abnahmeformel aufstellen. Egal ob Bakterien-, Algen-
wachstum oder Radioaktivität.
f ( x ) = b * e^{a*t}
Ist der Anfangswert bei t = 0 bekannt wird es noch einfacher
b = Anfangswert.

Ausnahme : bei Zinsrechnungen nehme ich, wie üblich,
den Zinsfuß als Basis
Verzinsung 4 %
Zinsfuß 1.04
Zins und Zinseszins 1.04^t
Endkapital = Anfangskapital * 1.04^t

Zusammenfassung : die Basis für Exponentialfunktionen kann
beliebig gewählt. Außer beim Zinsrechnungen nimmt man
üblicherweise e, weil e und ln () leicht zu handhaben sind.

mfg Georg