Umformung mit Cosinus: cos(pi/3) = 2cos2(pi/6)-1;... Warum genau?

Question

Hi,

 

kann mir jemand erklären, wieso folgendes gilt?

 

cos(pi/3) = 2cos²(pi/6)-1

cos(pi/6) = √(cos(pi/3) + 1) / 2

 

Danke

Answer 1

Hi,

cos(pi/3) = 2cos²(pi/6)-1            |-> folgt direkt aus dem Additionstheorem cos(2x) = 2cos(x)^2-1

cos(pi/6) = √(cos(pi/3) + 1) / 2   |-> erste Zeile nach cos(pi/6) aufgelöst

 

Grüße

Answer 2

cos(π/3) = 2cos²(π/6)-1

Erstmal schauen, ob das auch stimmt:

0,5 = 2*(0,5*√3)² -1

0,5 = 0,5*3 -1

0,5 = 0,5 (Relation stimmt numerisch)

Okay, es gibt ja einige Beziehungen zu den Winkelfunktionen:

sin²(x) + cos²(x) =1

sin(π/2 - x) = cos(x) bzw. cos(π/2 - x) = sin(x)

Vielleicht geht's auch einfacher und ich sehe es zu kompliziert, aber ich schreibs dennoch mal hin:

-> cos(π/3) = 2*cos²(π/6)-1 = 2*sin²(π/2 - π/6)-1 = 2*sin²(π/3)-1 = 2*(1 - cos²(π/3)) -1 = 2 - 2*cos²(π/3) -1 = 1 - 2*cos²(π/3)

z = cos(π/3) -> z = 1 - 2*z² -> 2*z²  + z -1 = 0. Wenn diese Gleichung eine Lösung hat, dann ist die Relation auch gültig.

Diskriminate = b² - 4ac

Mit b = 1, a = 2 und c = -1 folgt D = 1 - 4*2*(-1) > 0 -> Es existieren zwei reelle Lösungen (z1= 1/2 und z2 = -1)

z = cos(π/3) -> Für z1= 1/2 folgt cos(π/3) = 1/2 (was auch stimmt), z2 macht vermutlich nicht viel Sinn.