Summenzeichen vereinfachen: (x-1) ∑ x^i (unter dem Summenzeichen ist i=0 und darüber n)

Question

Wie eben auch wieder eine Aufgabe zum vereinfachen. Da ich bei diesen Sachen gerne etwas übersehe möchte ich meinen Gedankengang gerne hier abgleichen.

Zur Aufgabe;

Es sei n ∈ ℕ und n ≥ 3. Außerdem ist x ∈ ℝ. Vereinfachen Sie;

  
(x-1)  ∑ x^i     (unter dem Summenzeichen ist i=0 und darüber n, wusste nicht wie man das korrekt schreibt)
Meine "Lösung":

Nun ja, was soll man da groß machen? Ich habe einfach die Klammer nach rechts gezogen und (x-1) mit x^i multipliziert. Sprich ich komme dann auf

∑ x^{i+1} - x^i (wobei i=0 unter dem Summenzeichen und n darüber bleiben).

War das alles? Oder liege ich (mal wieder) völlig falsch? =)

Danke für Eure Mühe!

Answer 1

Geometrische Summenformel: $$\sum_{i=0}^n xî=\frac{1-x^{n+1} } {1-x} $$. Also $$(x-1)\sum_{i=0}^n x^i=x^{n+1}-1$$. Alternativ Teleskopsumme. $$(x-1)\sum_{i=0}^n x^i=\sum_{i=0}^n x^{i+1)-x^i=x^{n+1}-x^0$$.

Comments

Den Fall \(x=1\) muss man allerdings noch gesondert untersuchen, da die Geometrische Summenformel nur für \(x\neq 1\) gilt.

Answer 2

(x - 1) · ∑ (i=0 bis n) (x^i)

= ∑ (i=0 bis n) (x^{i + 1}) - ∑ (i=0 bis n) (x^i)

= x^{n + 1} - 1

Comments

Erst einmal danke an beide für die Hilfe, allerdings verstehe ich nicht wie ich vom zweiten auf den dritten Schritt komme.

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Schreib das doch mal etwas ausführlicher auf

= ∑ (i=0 bis n) (x^{i + 1}) - ∑ (i=0 bis n) (xⁱ)

= x^1 + x^2 + ... + x^{n - 1} + x^n + x^{n + 1} - (x^0 + x^1 + x^2 + ... + x^{n - 1} + x^n)

Rot markiert sind die Teile die sich komplett aufheben. Bleibt lediglich

= x^{n  + 1} - x^0

mit x^0 = 1 ergibt sich

= x^{n  + 1} - 1

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Ach, alles klar. Den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen, jetzt leuchtet es ein.

Danke dafür!