Bestimme die Lösung der Differentialgleichung y' + 2y/x = cosx/x

Question

$$y` + 2·\frac{y}{x} = \frac{\cos(x)}{x}$$

Ich soll die Differentialgleichung zuerst allgemein lösen und dann für die Anfangsbedingung y(pi) = 0.

Jedoch verstehe ich das Lösen von Differentialgleichungen nicht.

Answer 1

Ich folge dem Lösungsvorschlag von WolframAlpha: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27+%2B+2y%2Fx+%3D+cosx%2Fx

y' + 2y/x = cosx/x                      |*x²

x²*y' + 2x*y = x* cos x                  |

Subst. u = x², u' = 2x

wegen  u * y' + u'*y = (u*y)'

x²*y' + 2x*y = x* cos x

(x² * y) ' = x* cos x             |integrieren links und rechts

x²* y = ∫ x* cos x dx                |rechts: partiell integrieren

x² * y = x*sin x + cos x + C          |:x²

y = (x*sin x + cos x + C) / x²

    

Comments

wieso machst du mal x² und nicht einfach nur x?

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Weil ich dann x² und 2x als Faktoren habe, und die Produktregel der Ableitung dann rückwärts anwenden kann.

Hast du einen einfacheren Vorschlag?

Answer 2

Lösung via Variation der Konstanten:

Comments

Es gilt weiterhin: Bitte keine Bilder.
Gleich zehnmal bei einer so alten Frage. Der Mehrwert so ist fast gleichzusetzen mit 0, da eine Suchfunktion damit Null anfangen kann.