Langrangemethode mit Nebenbedingung f(x,y)=y-x; x^2+y^2=1

Question

folgende Aufgabe muss ich berechnen:

Ich soll mit der Methode von Langrangemethode die Extremwerte der Funktion f(x,y)=y-x mit der Nebenbedingung x²+y²=1 berechnen.

Folgendermaßen bin ich vorgegangen:

Langrangemethode:
y-x + lamda*(x²+y²)

Partitielle Ableitungen bilden:
Lx=f'x(x,y) = -1 + lamda*(2x) => x= 1/2*lamda
Ly=f'y(x,y)  = 1 + lamda*(2y) => lamda=-1/2y
Llamda = x²+y² = 0

Ly + Lx in Llamda eingesetzt:
0 = (1/2*(-1/2y))²+y² + 1/2y
y=0,y=-(8/17)

Kann mir jemand sagen ob das bis hierhin stimmt? Und falls es stimmt wie ich weiter vorgehen muss um die
X-werte zu erhalten.

Ich würde nun die y Ergebnisse in die lamda Funktion einsetzen lamda=-1/2y

und das Ergebnis dann in die x= 1/2*lamda Funktion einsetzen..

Wäre ganz nett wenn mal jemand drüber schauen könnte, mache das zum ersten mal und bin mir nicht ganz sicher ob dasalles so stimmt.

Besten Dank!

Answer 1

f(x, y) = y - x optimieren unter der Nebenbedingung x^2 + y^2 = 1

Lagrange-Funktion

L = y - x - k·(x^2 + y^2 - 1)

Partielle Ableitungen

Lx = - 2·k·x - 1 = 0
x = - 1/(2·k)

Ly = 1 - 2·k·y = 0
y = 1/(2·k)

Wir setzen beides in die Nebenbedingung ein

x^2 + y^2 = 1
(- 1/(2·k))^2 + (1/(2·k))^2 = 1
1/(2·k^2) = 1
k = - √2/2 ∨ k = √2/2

Wir berechnen die möglichen Extrema

x1 = - 1/(2·(- √2/2)) = √2/2
y1 = 1/(2·(- √2/2)) = - √2/2

f(√2/2, - √2/2) = - √2/2 - √2/2 = - √2

x2 = - 1/(2·√2/2) = - √2/2
y2 = 1/(2·√2/2) = √2/2

f(- √2/2, √2/2) = √2/2 - (- √2/2) = √2

Comments

Vielen vielen dank, für die schnelle und ausführliche Antwort.