Partielle Ableitung für Lagrangeansatz: Ursprungsfunktion: U(x,y)=4x³y², Nebenbedingung: 2x+y=120

Question

für meine VWL Klausur muss ich  den Lagrangeansatz verstehen. Von der Dozentin haben wir eine ausführliche Erklärung bekommen, bei der ich aber nicht verstehe, wie die partiellen Ableitungen gebildet werden.

Ursprungsfunktion: U(x,y)=4x³y²

Nebenbedingung: 2x+y=120

also:

L(x,y,λ)=4x³Y²+λ(120-2x-y)


1. Partielle Ableitung: ∂L/∂x = 12x²y²-2λ

2. Partielle Ableitung: ∂L/∂y = 8x³y-λ

3. Partielle Ableitung: ∂L/∂λ = 120-2x-y

Kann mir jemand weiterhelfen? Sehe ich es bei der 3. Ableitung richtig, dass die Nebenbedingung einfach übernommen wird? Bei den anderen beiden verstehe ich Ansätze aber werde dann wieder verwirrt. Kann mir vielleicht jemand helfen und ausführlich erklären welche Regel bei welcher dieser Zahlen angewandt wird und wie es zu behandeln ist?  !

Answer 1

L = 4·x^3·y^2 + λ·(120 - 2·x - y)

Bei der part. Ableitung nach x tust du so als wären alle anderen Unbekannten einfache Zahlen

L = 4·x^3·Zahl + Zahl·(120 - 2·x - Zahl)

Lx' = 4·3·x^2·Zahl + Zahl·(0 - 2 - 0)

Natürlich schreibt man das nicht mit Zahl auf sondern mit den Unbekannten

Lx' = 4·3·x^2·y^2 + λ·(0 - 2 - 0) = 12·x^2·y^2 - 2·λ

Jetzt probierst du auch die anderen part. Ableitungen zu machen.

Comments

soweit schon verstanden. Aber warum bleibt das y² so wie es ist und das y in der Klammer fällt weg? Müsste dann y² nicht auch ein einfaches y werden?

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Was wird aus

f(x) = 2*x + 2

beim Ableiten. Eine 2 bleibt stehen die andere fällt weg. Warum ist das so ?

Genau so ist das mit dem y

Und aus einem y^2 wird nie 2y wenn man nach x ableitet.

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Wenn du nach x, selbst bei einer Funktion, die mehrere Veränderliche aufweist, ableitest, dann hat man wirklich nur das x zum Ziel. Alles andere (Zahlen, andere Veränderliche) wird als "Konstante" betrachtet.

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Dankeschön. Und könntest du mir diesen ausführlichen Weg auch bei der Ableitung nach y aufschreiben? !!

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Probier das mal selber. Ich korrigiere dann.

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Ich schreibe es mal so wie du:

Ly=Zahl * y² + Zahl * (120 - Zahl - y)

Ly`=4x² * y +λ *(-2x)

Ly``=-8x³*y-2λ


Mhm.. -8x³ ist ja auch falsch... Ist er Weg richtig?

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L = 4·x³·y² + λ·(120 - 2·x - y)

L = 4·Zahl·y² + Zahl·(120 - Zahl - y)

Ly' = 4·Zahl·2y + Zahl·(0 - 0 - 1)

Aber eigentlich direkt aufschreiben

Ly' = 4·x³·2y + λ·(0 - 0 - 1) = 8·x³·y - λ