Ich hoffe jetzt mal, dass ich hier den richtigen Mittelwertsatz benutze:
∣x−y∣
Die Steigung zwischen 2 beliebigen Punkten auf der Kurve (x,f(x)) und (y,f(y)) ist nie grösser als der Abstand ihrer x-Werte. Gemäss Mittelwertsatz kommt diese Steigung tatsächlich auf der (stetigen) Kurve vor.
Spezialfall: x=xo y=xoε
∣xo−(xo+ε)f(xo)−f(xo+ε)∣≤∣xo−(xo+ε)∣=∣ε∣
Jetzt gemäss Definition der Ableitung Grenzwert ε gegen 0:
∣f′(xo)∣=0 für beliebige xo
Also f(x) ist konstant.