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Eine Funktion f: R -> R (reellen Zahlen) erfülle

f(x)f(y)xy2 | f ( x ) - f ( y ) | \leq | x - y | ^ { 2 }

für alle x,y Element von R (reelle Zahlen).

Zeige mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass f konstant ist.

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Ich hoffe jetzt mal, dass ich hier den richtigen Mittelwertsatz benutze:

xy |x-y|

Die Steigung zwischen 2 beliebigen Punkten auf der Kurve (x,f(x)) (x,f(x)) und (y,f(y)) (y,f(y)) ist nie grösser als der Abstand ihrer x-Werte. Gemäss Mittelwertsatz kommt diese Steigung tatsächlich auf der (stetigen) Kurve vor.

Spezialfall: x=xo x = xo y=xoε y = xo \varepsilon

f(xo)f(xo+ε)xo(xo+ε)xo(xo+ε)=ε |\frac { f(xo)-f(xo+\varepsilon ) }{ xo-(xo+\varepsilon ) } |≤\quad |xo-(xo+\varepsilon )|\quad =|\varepsilon |

Jetzt gemäss Definition der Ableitung Grenzwert ε gegen 0:

f(xo)=0 |f'(xo)| = 0 für beliebige xo

Also f(x) ist konstant.

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