Differenzierbarkeit und Mittelwertsatz. Behauptung: |f(x) - f(y)| ≤ |x-y|^2 heisst f(x) ist konstant.

Question

Eine Funktion f: R -> R (reellen Zahlen) erfülle

$$ | f ( x ) - f ( y ) | \leq | x - y | ^ { 2 } $$

für alle x,y Element von R (reelle Zahlen).

Zeige mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass f konstant ist.

Answer 1

Ich hoffe jetzt mal, dass ich hier den richtigen Mittelwertsatz benutze:

$$ |x-y| $$

Die Steigung zwischen 2 beliebigen Punkten auf der Kurve \( (x,f(x)) \) und \( (y,f(y)) \) ist nie grösser als der Abstand ihrer x-Werte. Gemäss Mittelwertsatz kommt diese Steigung tatsächlich auf der (stetigen) Kurve vor.

Spezialfall: \( x = xo \) \( y = xo \varepsilon \)

$$ |\frac { f(xo)-f(xo+\varepsilon ) }{ xo-(xo+\varepsilon ) } |≤\quad |xo-(xo+\varepsilon )|\quad =|\varepsilon | $$

Jetzt gemäss Definition der Ableitung Grenzwert ε gegen 0:

\( |f'(xo)| = 0 \) für beliebige xo

Also f(x) ist konstant.