Beh: Differenzierbare gerade Funktion gibt abgeleitet eine ungerade Funktion...

Question

Sei f : R → R eine zweimal differenzierbare, gerade Funktion. Zeigen Sie, dass f ′ ungerade und f ′′ gerade ist.

Answer 1

es genügt zu zeigen, dass die Ableitung einer gerade Funktion ungerade ist und umgekehrt.

Sei dazu zunächst \( f \) gerade mit \( f(x) = f(-x) \). Dann gilt wegen der Kettenregel

\( f'(x) = - f'(-x) \)

und \( f' \) ist ungerade.

Ebenso gilt für eine ungerade Funktion \( f \) mit \( f(x) = -f(-x) \) mit der Kettenregel die Gleichung

\( f'(x) = f'(-x) \)

und \( f' \) ist gerade.

MfG

Mister

Answer 2

Beispiel: f(x) = x²  (gerade Funktion, da f(-x) = f(x) ist)

f'(x) = 2*x (ungerade Funktion, da f(-x) = -f(x) ist)

f''(x) = 2 (gerade Funktion, da f(-x) = f(x) ist)

Answer 3

Allgemein könnte man es so zeigen:

Sei f: R→R eine zweimal differenzierbare, gerade Funktion.

Nach den Voraussetzungen und unter Anwendung der Kettenregel
folgt f(x) = f(−x) gerade und f'(x) = −f'(−x) ungerade und f''(x) = f''(−x) gerade.