Differenzierbarkeit, Bild und Umkehrfunktion von sinh(x)

Question

Sei f:ℝ→ℝ, f(x) = sinh(x) = 0,5e^x - 0,5e^-x

a) Begründen Sie, dass f differenzierbar ist, und zeigen Sie f´(x)>0 auf ganz ℝ

b) Bestimmen Sie den Bildbereich f(ℝ) von f und begründen Sie, warum f:ℝ→f(ℝ) eine Umkehr-
funktion g besitzt

c) Zeigen Sie, dass für die Ableitung der Umkehrfunktion g´(x) =1/√(1+x²) gilt

zu a)

Folgende Formel habe ich gefunden kann ich die verwenden?

\( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} \)

Answer 1

sinh ( x ) = 0,5e^x - 0,5e^-x

a) Begründen Sie, dass f differenzierbar ist, und zeigen Sie f´(x)>0 auf ganz ℝ

Begründen Sie, dass f differenzierbar : ich weiß es,
kann es aber nur schwer herleiten. Auch der Nachweis
im Buch ist recht schwer.
f ´( x ) = 0.5 * e^x - 0.5 *e^{-x} * (-1)
f ´( x ) = 0.5 * e^x + 0.5 *e^{-x}
Die e-funktion ist stets positiv. Die Summe ist auch stets positiv
f ´( x ) > 0

b) Bestimmen Sie den Bildbereich f(ℝ) von f und begründen Sie, warum f:ℝ→f(ℝ)
eine Umkehrfunktion g besitzt
lim x -> - ∞ [ 0.5 * e^x - 0.5 *e^{-x} ] = 0 - ∞  = -∞
lim x -> + ∞ [ 0.5 * e^x - 0.5 *e^{-x} ] = ∞  - 0 = ∞
W = ℝ
Die Funktion verläuft von - ∞  nach ∞ und ist  stets monoton steigend.
Weil stets monoton steigend ist Sie auch umkehrbar.
Die Bestimmung der Umkehrfunktion ist nicht gefragt.

c) Zeigen Sie, dass für die Ableitung der Umkehrfunktion g´(x) =1/√(1+x²) gilt
g = Umkehrfunktion von f
g [ f ( x ) ] = x
g ´ [ f ( x ) ] * f ´( x ) = 1
1 / √ ( 1 +  ( f ( x ))^2 ) * ( 0.5 * e^x + 0.5 *e^{-x} ) = 1
1 / √ ( 1 +  ( 0.5 * e^x - 0.5 *e^{-x}  )^2 ) * ( 0.5 * e^x + 0.5 *e^{-x} ) = 1
1 / √ ( 1 +  ( 0.25 * (e^x)^2 -  0.5  + 0.25 * e^{-x}^2 )) * ( 0.5 * e^x + 0.5 *e^{-x} ) = 1
1 / √ ( 0.25 * (e^x)^2 +  0.5  + 0.25 * e^{-x}^2 ) * ( 0.5 * e^x + 0.5 *e^{-x} ) = 1
1 / √ ( 0.5 * e^x + 0.5 * e^{-x} )^2  * ( 0.5 * e^x + 0.5 *e^{-x} ) = 1
( 0.5 * e^x + 0.5 * e^{-x} )  /  ( 0.5 * e^x + 0.5 *e^{-x} ) = 1  | stimmt

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mfg Georg

Comments

zu a)
Die Funktion f ist als Verknüpfung differenzierbarer Funktionen ebenfalls differenzierbar
und es ist f'(x) = 0,5 * e^x + 0,5 *e^-x > 0, da beide Summanden positiv sind.

Mehr ist zu a) meiner Meinung nach nicht gefordert. Die Differenzierbarkeit von f über den Grenzwert des Differenzenquotienten herzuleiten, um anschließend die Ableitung von f mit Hilfe von Ableitungsregeln zu bestimmen, erscheint wenig sinnvoll.

Welchen schwierigen Buchnachweis hast Du denn gefunden?