Zweite Ableitung aus der Funktion u(x) = x^2 / x^2+1

Question

Hallo ich habe eine Frage und zwar, komme ich bei der zweiten Ableitung nicht so ganz weiter.

Wir haben eine Funktion u(x) = x^2 / x^2+1

Die erste Ableitung klappt noch. Da bekomme ich dann ja u´(x)= (x²+1)*2x - (2x) * x² / (x² +1)² gekürzt dann ja u ´(x) = 2x / (x² + 1)²

Aber nun bei der zweiten Ableitung weiß ich nicht weiter. Ich hatte es bei der ersten Ableitung so gemacht, dass was über dem Bruchstrich steht ist g(x) und was unter dem Bruchstrich steht ist h(x) und dann von den beiden die erste Ableitung gemacht und dann in die Formel f´(x) = g`(x) * h (x) - g(x) * h´(x) / (h(x))²

Also Lösung soll ich rausbekommen:

U´´(x) = (x²+1)² * 2-2x * 2 (x² +1) * 2x / (x² +1)⁴

Leider habe ich da Probleme das nachzuvollziehen. Es wäre super, wenn mir da jemand helfen könnte zu zeigen, wie ich da vorgehen muss und warum z.B. unter dem Bruchstrich die Klammer Hoch 4 ist.

 

Answer 1

Hi,

das ist hoch 4, da Du ja h(x)^2 hast. Also h(x) = (x^2+1)^2 -> h(x)^2 = ((x^2+1)^2)^2 = (x^2+1)^4

 

Sonst funktioniert das genauso, wie Du das bei der ersten Ableitung gemacht hast. Du kommst direkt auf die Musterlösung (da fehlen Klammern):

((x²+1)² * 2-2x * 2 (x² +1) * 2x )/ (x² +1)⁴

Nun hast Du im Zähler in jedem Summanden den gleichen Faktor, sowie im Nenner. Du kannst also kürzen:

((x²+1) * 2-2x * 2* 2x) / (x² +1)³

Das noch zusammenfassen und Du hast ingesamt:

U''(x) = (-6x^2 + 2)/ (x^2+1)^3

 

Alles klar?

 

Grüße

Comments

Ja das mit Hoch 4 habe ich verstanden, aber mit der zweiten Ableitung noch nicht.

Ich komme da an einem Punkt nicht weiter.

Ich habe ja die erste Ableitung u ´(x) = 2x / (x2 + 1)²

g´(x) = 2x --> g´´(x) = 2

h´(x) = (x2+1)² --> g´´(x)= hier weiß ich nicht wie ich die Ableitung bilden muss 

Dann müsste ich ja eigentlich alles nur noch einsetzten.

Aber Danke für deine schnelle Antwort !

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h''(x) = 2*(x^2+1) * 2x

Letzteres ist dabei die innere Ableitung ;).

Genauso findest Du das auch in der Musterlösung wieder. Du kommst nun klar? :)

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Super, jetzt habe ich es verstanden :) tausend Dank !

Answer 2

der Vollständigkeit halber. Zur Arbeitserleichterung kann
man auch mit einer Polynomdivision beginnen.

Durch die Darstellung mit Bruchstrich  wirken
die Terme übersichtlicher.

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg