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ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter:

Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz.

$$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ (k!)/(k^k) } $$

Ich weiß dass das Ergebnis ε lauten soll, also lim (1+(1/k))^k

Ich habe es mit dem Quotentenkriterium probiert und hänge hier fest:

(1/(1+(1/k))^k
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(1/(1+(1/k)))k          | 1k = 1

= 1/(1+(1/k))k = 1/e 

Avatar von 162 k 🚀
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Quotientenkriterium:

{(k + 1)!/[(k + 1)(k + 1)]}/{(k!)/(kk)}

Mit (k + 1)! = (k + 1)*k! und (k + 1)(k + 1) = (k + 1)k *(k + 1) folgt nach Einsetzen in die obige Gleichung

kk /[(k + 1)k] = [k/(k + 1)]k = [1/(1 + 1/k)]k = 1/(1 + 1/k)k

Wenn wir jetzt  den Term 1/(1 + 1/k)k für k gegen Unendlich untersuchen, sehen wir, dass es einen Grenzwert gibt. Somit konvergiert die Reihe.

Avatar von 5,3 k

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