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Ich habe wieder ein Problem, aber diesesmal mit Integralrechnung :-(

Gegeben ist die Funktion: f(x)=sqrt(16x-x^2)

Jetzt muss ich den Inhalt der Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse berechnen. Leider kommt bei mir 0 raus!?

Das ist meine Stammfunktion: F(x)=∫von 0-16 f=2/3*(16x-x^2)^3/2   > stimmt das so??  und dann muss man ja Fa-Fb rechnen, doch da bekomme ich 0. Könnt ihr mir da helfen??

 

Außerdem müssen wir noch das Rotationsvolumen angeben. Hier bin ich total aufgeschmissen'!

Bitte um eure gute und schnelle Hilfe!!!

Danke!!!!
Gefragt von
Danke Mathecoach!

1 Antwort

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Beste Antwort

Sollt ihr das über ein Integral machen? Wenn Du siehst das es einfach nur eine Kreisgleichung ist, kannst du es ja über die Berechnung eines halbkreises Machen, bzw. Über die Berechnung einer Kugel.

y = √(16x - x^2)
y^2 = 16x - x^2
x^2 - 16x + y^2 = 0
x^2 - 16x + 64 + y^2 = 64
(x-8)^2 + (y-0)^2 = 8^2

Das ist die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt bei M(8|0) und dem Radius 8.

Damit ist die Fläche

A = 1/2 * π * 8^2 = 32 π

Und das Volumen

V = 4/6 * π * 8^3 = 1024/3 π

 

Das mit der Stammfunktion ist nicht ganz so trivial wie du dir das denkst, weil du hier nur die äußere Stammfunktion der Kettenregel gemacht hast. Nicht bedacht hast, dass man aber beim Ableiten noch die Ableitung der inneren Funktion als Faktor bekommt.

Eine Stammfunktion wäre hier

F(x) = 32·arcsin((x - 8)/8) + (x - 8)·√(x·(16 - x))/2

Die bekommt man über eine etwas aufwendigere Rechnung. Aber wenn man weiß das das Gebilde ein Halbkreis ist kann man das ja auch viel einfacher Lösen.

 

 

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