Beschränktheit von Folge zeigen an:= √(1 + (n+1)/n)

Question

ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich nachweisen soll, dass die Folge \(a_{n}:=\sqrt{1+\frac{n+1}{n}}\), \(n>0\) beschränkt ist. Es sieht so aus, als ob die Folge monoton fällt, also habe ich versucht \(a_{1}\geq a_{n}\) zu zeigen, aber wenn ich das auflöse, bekomme ich einen WIderspruch (\(1\leq 0\)).

Könnte mir da jemand helfen?
Vielen Dank schonmal.

Comments

Achtung, du musst a_n ≥ a_n+1 zeigen!

Hast du das gemeint?

Answer 1

Beschränktheit von Folge zeigen

an:= √(1 + (n+1)/n)

= √(1 + n/n + 1/n)

=√(2 + 1/n)     > √2

Daher ist √2 eine untere Grenze von (an).

Da die Folge monoton fällt, ist das erste Element eine obere Schranke. Also obere Schranke ist √3. Du kannst auch aufrunden: √4 = 2 ist obere Grenze.

Damit ist die Folge beschränkt.

Comments

Weil n+1 > n        |:(n(n+1))

1/n > 1/(n+1)        | + 2

2 + 1/n > 2 + 1/(n+1)   | Wurzel

√(2 + 1/n) > √(2 + 1/(n+1))

Also 

a_n > a_n+1

qed (Monotonie)

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Die Tatsache, dass die Folge nach unten beschränkt ist, folgt bereits daraus, dass alle Folgeglieder offensichtlich positiv sind.