Eine habe ich aus dem Studium, die ganz gut ist:
Berechnen Sie das Integral
\( \int_0^a x^k dx,~k \in \mathbb{N}, a > 0 \)
mittels Grenzwertbildung für \( n \rightarrow \infty \) für die Obersummen \( O(Z_n) \) und die Untersummen \( U(Z_n) \). Benutzen Sie dabei eine äquidistante Teilung des Intervalls \( [0,a] \) und den folgenden Hinweis:
Für alle natürlichen Zahlen \( n \in \mathbb{N} \) gibt es rationale Zahlen \( a_{k1}, a_{k2}, ..., a_{kk} \), so dass gilt:
\( \sum_{j=1}^n j^k = \frac{1}{k+1}n^{k+1} + a_{kk}n^k + ... + a_{k1}n \)
