Die angegebene Zerlegung kann ich nicht so recht erkennen.
Es geht aber einfach mit der Zerlegung von [0,1 ] in n
gleichlange Teilintervalle: 0, 1/n , 2/n , .... n/n .
Wegen der Monotonie von ex ist dann die Untersumme immer durch
den Funktionswert am linken Rand des Teilintervalls bestimmt.
\( U(n) = \sum\limits_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n}e^{\frac{i}{n}} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=0}^{n-1} e^{\frac{i}{n}} \)
Die Summe ist die geometrische Reihe mit erstem Summanden 1 und
Quotient \( q= e^{\frac{1}{n}} \). Damit liefert die Summenformel
für die geometrische Reihe \( \sum\limits_{i=0}^{n-1} e^{\frac{i}{n}}= \frac{ (e^{\frac{1}{n}})^n -1 }{ e^{\frac{1}{n}}- 1} = \frac{ e -1 }{ e^{\frac{1}{n}}- 1} \)
Also hat man für die Untersumme \( U(n) = \frac{1}{n} \frac{ e -1 }{ e^{\frac{1}{n}}- 1}= \frac{1}{n} \frac{ 1 }{ e^{\frac{1}{n}}- 1} \cdot (e-1) \).
Für den Grenzwert für n gegen ∞ lassen wir erstmal das (e-1) weg
und betrachten \( \frac{1}{n} \frac{ 1 }{ e^{\frac{1}{n}}- 1} \) #
Das erinnert mich an die Definition der Ableitung von e^x an der Stelle 0.
Das wäre ja der Grenzwert
\( \lim \limits_{h \to 0} \frac{e^{0+h} - e^0}{h} = 1 \) . ##
Wenn man bei # das 1/n mit dem h identifiziert, wird aus #
\( h \cdot \frac{ 1 }{ e^{h}- 1} = \frac{ h }{ e^{h}- 1} \)
Das ist genau der Kehrwert von dem Term aus ##. Also auch
hier Grenzwert 1 für h gegen 0 bzw. n gegen ∞.
Also \( \lim\limits_{n \to \infty} U(n) = 1 \cdot (e-1) = e-1 \).
Und für die Obersumme entsprechend. Also stimmen die
Grenzwerte überein und damit ist e^x über [0,1] Riemann-intergrierbar
mit Integral e-1.
