Betragsgleichung mit langsamer Hinführung: |x - 8| = 3

Question

Aufgabe - Der (Absolut-) Betrag:

$|x|=\left\{\begin{aligned} x, & \text { für } x \geq 0 \\ -x, & \text { für } x<0 \end{aligned}\right.$

einer reellen Zahl $x$ entspricht ihrem Abstand zum Nullpunkt 0 eines Zahlenstrahles.

1. Bestimmen Sie die Werte von $|7|$ und $|-5|$. Verdeutlichen Sie die geometrische Interpretation dieser Ausdrücke, indem Sie die Zahlen 7 und $-5$ sowie den Nullpunkt bzw. Ursprung 0 auf einem Zahlenstrahl einzeichnen.

2. Lösen Sie die Gleichung $|x|=3$ geometrisch, indem Sie die gesuchten Werte auf einem Zahlenstrahl visualisieren.

3. Lösen Sie die Gleichung $|x-8|=3$ in folgenden Schritten: Ersetzen Sie zunächst $y=x-8$ in der vorgegebenen Gleichung, um $y$ geometrisch zu bestimmen. Resubstituieren Sie nun $y=x-8$, um die gesuchten Lösungen der ursprünglichen Gleichung zu erhalten.

Ansatz/Problem:

Die erste Fragestellung ist doch ganz einfach Ι 7 Ι = 7 und Ι -5 Ι = 5 also muss ich einen Zahlenstrahl zeichnen und ganz einfach 0, 5, 7 markieren auf dem Zahlenstrahl oder?

Beim 2 versteh ich nicht was die gesuchten Werte hier sind. x kann entweder 3 sein oder -3, oder lieg ich da falsch - weiß nicht was ich da visualisieren soll - die 3 auf dem Zahlenstrahl markieren?

Die 3. Aufgabe ist glaub ich mit diesem 1. Fall und 2. Fall aber ich versteh nicht was ich da mit y= x-8 tun soll und was ich da resubstituieren soll (._?)

Answer 1

Die erste Fragestellung ist doch ganz einfach Ι 7 Ι = 7 und Ι -5 Ι = 5 also muss ich einen Zahlenstrahl zeichnen und ganz einfach 0, 5, 7 markieren auf dem Zahlenstrahl oder? 

Richtig.

|5| ist der Abstand von der 5 zur 0.
|-7| ist der Abstand von der -7 zur 0.

Beim 2 versteh ich nicht was die gesuchten Werte hier sind. x kann entweder 3 sein oder -3, oder lieg ich da falsch - weiß nicht was ich da visualisieren soll - die 3 auf dem Zahlenstrahl markieren? 

Die Werte sind richtig. Du suchst mit |x| = 3 alle Zahlen, die den Abstand von 3 zur 0 haben. Schlage daher einen Kreis um 0 mit dem Radius 3. Wir erhalten -3 und 3 als Schnittpunkte mit der Achse.

Die 3. Aufgabe ist glaub ich mit diesem 1. Fall und 2. Fall aber ich  versteh nicht was ich da mit y= x-8 tun soll und was ich da resubstituieren soll (._?)

|x - 8| = 3

Substitution y = x - 8

|y| = 3

y = ± 3

Resubstitution

x - 8 = ± 3
x = 8 ± 3
x1 = 5 und x2 = 11