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Ein Pythagoreisches Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck mit natürlicher Seitenlängen a, b und c. (alle Seiten sind natürlich!)

Beweise nun, dass der Radius eines pythagoreischen Dreiecks immer natürlich ist.

Herzlichen Dank: Ihr seid die Besten:-)

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Was ist gemeint mit natürlicher Radius?

Wo ist von einem natürlichen Radius die Rede? Ich sehe nur natürliche Zahlen.

Die Frage ist doch wohl eher: Was ist mit "Radius" gemeint?

Na ja, vermutlich der Inkreisradius.

Formulierung der Aussage, Beweisidee und Quelle können nachgelesen werden unter:

http://mathworld.wolfram.com/RightTriangle.html

(in den zehn Zeilen nach Gleichung (8)).

1 Antwort

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Jedes pythagoräische Tripel

a2 + b2 = c2

kann geschrieben werden mit

a = m2 - n2
b = 2·m·n
c = m2 + n2

m und n sind hier ganze Zahlen.

(m2 - n2)2 + (2·m·n)2 = (m2 + n2)2

Für den Radius gilt

r = a·b/(a + b + c) = (m2 - n2)·(2·m·n)/((m2 - n2) + (2·m·n) + (m2 + n2))
r = 
(m2 - n2)·(2·m·n)/(2·m2 + 2·m·n)
r = n·(m - n)

Damit ist r eine ganze Zahl.

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