Stammfunktion von f(x) = 1 / (3-x)² bestimmen

Question

!

ich würde gerne wissen, wie man auf die Stammfunktion von folgender Funktion kommt.

Am liebsten wäre es mir, wenn mir jemand den ganzen Rechenweg aufschreiben und am besten noch kommentieren könnte, so dass ich es auch wirklich kapiere. :-D

\(f(x) = \frac { 1 }{ (3-x)² } \)

Keine Ahnung, ob das hier korrekt angezigt wird... Etwas unübersichtlich diesbezüglich die Seite...

Falls nicht:

1 / (3-x)²

Comments

Hi,

Vielleicht weisst du, dass: 1/((3-x)^2) = (3-x)^{-2}

Nun brauchen wir einmal die Potenzregel und einmal die Ableitungsregel für verkettete Funktionen.

Kennst du die? Kommentier am besten, ist der Lösumgsweg jetzt klar?

EDIT: ich idiot

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Hi, es ist 1 / (3-x)^2 = 1 / (x-3)^2 = (x-3)^{-2}.
Das sollte dann ohne große Probleme laufen.

Answer 1

Nutze die Substitution:

u = 3-x wäre eine geeignete Wahl. Das führt auf du = - dx.

$$\int \frac{1}{(3-x)^2} dx = -\int\frac{1}{u^2} du = \frac1u + c = \frac{1}{3-x} + c$$

So klar? Oder zu schnell ;).

Grüße

Comments

Das geht hier ja flott.. :)

*grübel*

Rechnerisch verstanden ja, nur keimt in mir nun eine weitere Frage auf, die ich auch schon länger mit mir herumschleppe: Warum klappt das? :-D Wie/Was funktioniert die Substitution?
Aber ich glaube das sprengt den Ramen...

Rechnerisch verstehe ich es so halbwegs. Also gleiches vorgehen wie bei Gleichungen 4. Grades z.B wenn man die Nullstellen finden möchte. Aber warum und wie...

Trotzdem vielen Dank für die schnelle Antwort !

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;) Rechnen kann ichs. Warum das gilt, dafür habe ich aber nur den Spruch auf Lager:

"Und den Beweis überlassen wir den Mathematikern"

:P Sry

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ich habe Substitution immer nur halbwegs verstanden. Diese habe ich 90% verstanden. Wo es hakt:

Wie berechnet man du? Danke.

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Als Faustregel kann man sich merken, dass man jede Seite nach der entsprechenden Variablen ableitet und ein dt bzw. dx hinsetzt, je nachdem man abgeleitet hat.

Etwas sauberer wäre es bei unserem Beispiel zu sagen:

du/dx = -1

Und dann das dx auf die andere Seite zu bringen (was genau der "Faustregel" entspricht).

Wenn ich mich recht entsinne ist mit einer solchen Begründung ein "echter" Mathematiker nicht zufrieden. Der Rest aber schon^^.

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Ok, das weiss ich, dass man du da stehen hat, wenn man nach du integrieren will. Das war nicht meine Frage. Sondern:

Wie bestimmt man zu dieser Substitution das du, wie kommst Du auf: du/dx = -1?

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Du hast die Substitution

u = 3 - x

Linke Seite nach u und rechte nach x differenzieren. Etsprechend werden einfach noch das dx und das du dahintergehängt.

1 du = -1 dx

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Ok alles klar, ich hatte eben diese Einleutung^^ Kannst du vielleicht bei der anderen Integral Frage vorbei schauen? :-) 

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oft siehst du auch das wenn man eine funktion f(x) ableitet das es wie folgt geschrieben wird

f(x) = ...

df / dx = ...

Dieses df/dx ersetzt also das f'(x) und sagt uns das die funktion f nach x abgeleitet worden ist.

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Ja, diese Notation kenne ich ;)

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Welche Aufgabe meinst du ?

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Wenn du die Notation kennst dann sollte

u = 3 - x 

du/dx = -1

eigentlich auch klar sein. du/dx bedeutet ja, dass man die Funktion u nach x abgeleitet hat.

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Ja, was das bedeutete war mir immer klar, aber das dieses dx auch beim Integral für das Ableiten steht war mir unbekannt, danke nochmal.

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auch bei der Stammfunktion zu

(ax + b)^99

musst du ja eine Ableitung bilden. Und zwar die der inneren Funktion. Nichts anderes macht man ja beim Substituieren.

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Ja, Subsitution u = ax+b oder?

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Ja genau. Man könnte ja auch die Ableitung nach der Kettenregel über die Substitution machen. Aber da begnügt man sich meist mit der Regel innere Ableitung mal äußere Ableitung.

Answer 2

f ( x ) = 1 / ( 3 - x )^2

Hier gibt es mehrere Möglichkeiten zur Bestimmung der
Stammfunktion.

Umschreiben und ( etwas ) probieren

f ( x ) = ( 3 - x )^{-2}

Der Exponent der Stammfunktion muß -1 sein da der Exponent
sich beim Differenzieren um 1 verringert. Mal probieren.

[ ( 3 - x )^{-1} ] ´  = ( -1 ) * ( 3 - x )^{-2} * ( -1 )
( 3 - x )^{-2}

Stimmt bereits. Der erste Versuch ist schon geglückt.

F ( x ) = ( 3 - x )^{-1} = 1 / ( 3 - x )

Die Substituition ( etwas ausführlicher )

z = 3 - x
z´ = -1 = dz / dx
dx = -dz

Jetzt wird ersetzt

∫ 1 / ( 3 -x )^2 dx = ∫ 1 / z^2 * -dz = ∫ - 1 / z^2 dz

Jetzt muß man es " sehen " ( Quotientenregel [ 1 / z ] ´ = - 1 /z^2 )

F ( x ) = 1 / z = 1 / ( x - 3 )

Ich habe lange gebraucht um die Substitution zu begreifen, insbesondere
mit dx und dz und wäre bereit dies hier einmal ausführlich zu erklären.

mfg Georg