Schwere Exponentialgleichung 3*4^{x-3} + 5*7^{x-3} = 2^{2x-4}

Question

Eine letzte Gleichung zu Exponentialgleichungen habe ich noch. Da meinte der Lehrer, dass die nur ein Bonus wäre. Und schwieriger als die anderen. Kannst du nochmals helfen, Unknown?

3*4^{x-3} + 5*7^{x-3} = 2^{2x-4}

Answer 1

Hi ChrisStoff das kann ich tun :).

Die ist in der Tat nicht die einfachste Gleichung. Habe da schon einfacheres gesehen. Gehen wir es mal an ;).

3*4^x-3 + 5*7^x-3 = 2^2x-4  |4^{x-3}

3 + 5*7^{x-3} / 4^{x-3} = (2^2)^{x-2} / 4^{x-3}   |Zweiter Summand mit a^n/b^n = (a/b)^n bearbeiten

3 + 5* (7/4)^{x-3} = 4^{x-2} / 4^{x-3}               |Rechts Potenzgesetz

3 + 5*(7/4)^{x-3} = 4^{x-2 - (x-3)}

3+5*(7/4)^{x-3} = 4                |-3, dann :5

(7/4)^{x-3} = 1/5                      |log

(x-3)log(7/4) = log(1/5)          |:log(7/4)

x-3 = log(1/5)/log(7/4)           |+3

x = log(1/5)/log(7/4) + 3 ≈ 0,124

Puuh, da muss man direkt am Anfang ein gutes Auge haben, bzw. einfach drauf loslegen. Sonst sieht das in der Tat eng aus! ;)

Hoffe Du konntest folgen. Sonst frage nach!

Grüße

Comments

Wow. Da habe ich einen Moment gebraucht. Da wäre ich selbst nie draufgekommen! Danke und meinen vollsten Respekt!

Hast du was gegen ein, zwei Logarithmusaufgaben? Neues Thema, aber das klappt hier so gut :).

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Hehe danke :).

Wir können es gerne probieren (Extra Frage bitte, der Übersicht wegen).

Grüße

Answer 2

Ich habe einen etwas anderen Einstieg gewählt:

3*4^{x-3} + 5*7^{x-3} = 2^{2x-4}
⇔
3*4^{x-3} + 5*7^{x-3} = 4^{x-2}
⇔
3*4^{x-3} + 5*7^{x-3} = 4*4^{x-3}
⇔
5*7^{x-3} = 4^{x-3}
⇔
5*7^x / 343 = 4^x / 64
⇔
320*7^x = 343*4^x
⇔
ln(320) + x*ln(7) = ln(343) + x*ln(4)
⇔
x*ln(7) - x*ln(4) = ln(343) - ln(320)
⇔
x*(ln(7) - ln(4)) = ln(343) - ln(320)
⇔
x = (ln(343) - ln(320)) / (ln(7) - ln(4)) ≈ 0.1240305454

Answer 3

I3•4^x-3  +5•7^x-3=2^2x-4

Log(3•4^x-3) + log(5•7^x-3)=log(2^2x-4)

X-3(log12) + x-3(log35) = 2x-4(log2)

X-3(1,1)+ x-3(1,54) = 2x-4( 0,3)

1,1x -3,3 + 1,54x -4,62 = 0,6x -1,2

2,64x- 9,92 = 0,6x -1,2           | -0,6x +9,92

2 ,04x = 8,72                           | :2,04

X=4,3