Geben Sie die Lösungsmenge für die Ungleichung an:(5x - 7)/(x+4) < 2

Question

Geben Sie die Lösungsmenge für folgende Ungleichung an

(5 x - 7) / (x + 4) < 2

Answer 1

(5 x - 7) / (x + 4) < 2 | Multiplikation mit (x + 4)

1. Fall

x + 4 > 0, also x > -4

5x - 7 < 2x + 8

3x - 7 < 8

3x < 15

x < 5

2. Fall

x + 4 < 0, also x < -4

5x - 7 > 2x + 8

3x > 15

x > 5

Widerspruch zur Annahme x < -4

Die Lösungsmenge lautet also

L = {x ∈ ℝ | -4 < x < 5)

Besten Gruß

Answer 2

Suchst du die Lösungsmenge in R?

Die Lösungsmenge ist L = {x | -4<x<5}

Vgl: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%285+x+-+7%29+%2F+%28x+%2B+4%29+%3C+2+

Berechnen kannst du das mit einer Fallunterscheidung

1. Fall x> -4

(5 x - 7) / (x + 4) < 2    |  *(x+4)

5x - 7 < 2(x+4)

5x - 7 < 2x + 8

3x < 15

x < 5

L1 = {x| -4<x<5}

2. Fall: x< -4

(5 x - 7) / (x + 4) < 2

5x - 7 > 2(x+4)

5x - 7 > 2x + 8

3x > 15

x >15

Das widerspricht der Voraussetzung x<-4.

Daher L2 = {}

und die totale Lösungsmenge ist

L = L1 ={x| -4<x<5}

Answer 3

(5 x - 7) / (x + 4) < 2 

Es gibt 2 Fälle

1.) für x + 4 > 0 gilt
(5 x - 7) / (x + 4) < 2   | * ( x + 4 )
( 5x - 7 ) < 2 * ( x + 4 )
5x - 7 < 2x + 8
3x < 15
x < 5
Die Eingangsvorausetzung war
x + 4 > 0
x > - 4
Zusammengefaßt  x < 5 und x > -4 ergibt
-4 < x < 5
2.) für x + 4 < 0 gilt
(5 x - 7) / (x + 4) < 2   | * ( x + 4 )  | !!! es wird mit etwas negativem multipliziert
( 5x - 7 ) > 2 * ( x + 4 )  | man beachte die Umkehrung des Relationszeichens
5x - 7 > 2x + 8
3x > 15
x > 5
Die Eingangsvorausetzung war
x + 4 < 0
x < - 4
Zusammengefaßt  x > 5 und x < -4 ergibt keine Schnittmenge

Lösung -4 < x < 5