Ortslinie der Wendepunkte von fk(x)=x^2-kx^3, wobei k∈ℝ

Question

ich brauche mal eure Hilfe:

f_k(x)=x²-kx³, wobei k∈ℝ

Wie berechnet man die Ortslinie der Wendepunkte der Graphen aller Funktionen f_k?

außerdem: Für welchen Wert von k hat die Funktion f_k an der Stelle x=100 eine Nullstelle?

bei x=100 einsetzen habe ich folgendes heraus: k=0,01. Stimmt das?

Comments

Rechne zunächst den einzigen, aber von k abhängigen, Wendepunkt aus und gib ihn an. Danach sehen wir weiter.

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Also als Wendepunkt habe ich:

not.Bed.: f_k ''(x) = 0

f_k ''(x) = 2-6kx = 0

x= 1/3k 

hinr.Bed.: f_k ''(x) = 0 und f_k '''(x) ≠ 0

f_k '''(1/3k) = -6k ≠ 0

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x = k/3 ist die Wendestelle, es fehlt noch der Funktionswert an dieser Stelle.

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Was meinst du mit Funktionswert?

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Ein Punkt in der x-y-Ebene hat zwei Koordinaten: Die x-Koordinate (auch: Abszisse) und die y-Kordinate (auch: Ordinate). x = k/3 ist die Abszisse. Setze die in f_k ein, um die Ordinate zu berechnen.

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Hi,

gemeint ist der Wert der Funktion an der Stelle x=k/3, also f_k(k/3)=(k/3)²-k(k/3)³=k²/9-k⁴/27

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Das kriege ich selber irgendwie nicht raus:

f_k(k/3)=(k/3)²-k·(k/3)³

k²/9 - k·k³/9

k²/9 - k⁴/27

Und jetzt?

Answer 1

Wie berechnet man die Ortslinie der Wendepunkte der Graphen aller Funktionen f_k?

f''(x) = 0
2 - 6·k·x = 0
k = 1/(3·x)

Das jetzt in die Ausgangsfunktion für k einsetzen

f(x) = x^2 - (1/(3·x))·x^3 = 2/3·x^2

f(100) = 0
10000 - 1000000·k = 0
k = 0.01

Comments

Dazu gibt es auch den tollen Song über die Ortskurve

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Ich verstehe das nicht so ganz, kannst du mir das bitte nochmal erklären?

Also als Wendepunkt habe ich WP(1/3k/k²/9 - k⁴/27)

Was soll ich jetzt damit machen um die Ortslinie der Wendepunkte herauszubekommen?

Bei der anderen Aufgabe "Für welchen Wert von k hat die Funktion f_k an der Stelle x=100 eine Nullstelle?" habe ich k=0,01...müsste also richtig sein.

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Ja. Ich habe ja auch 0.01 für k heraus.

Zur Ortskurve schau vielleicht auch nochmal unter https://de.wikipedia.org/wiki/Ortskurve_(Kurvendiskussion)

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Naja, bei Wikipedia versteht man das ja nicht so richtig. Ich weiß nur, dass man Wendepunkt braucht...

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Nein. Den Wendepunkt braucht man nicht.

Du löst die Notwendige Bedingung nach dem Parameter um und setzt es in die Funktionsgleichung ein. Mehr ist das nicht.

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Also nochmal:

Mam braucht x=k/3 und y=k²/9 - k⁴/27

ist die y-Koordinate denn richtig?

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f(x) = x^2 - k·x^3

Wir brauchen die Bedingung für die Wendestellen !

f''(x) = 0
2 - 6·k·x = 0

Wir lösen das nach k !! auf und nicht nach x.

2 - 6·k·x = 0
k = 1/(3·x)

Damit bei x eine Wendestelle ist muss k also den wert k = 1/(3·x) haben. Das setzen wir jetzt in die Funktion ein

f(x) = x^2 - k·x^3
f(x) = x^2 - (1/(3·x))·x^3 = 2/3·x^2

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Ahh, ich habe die ganze Zeit nach x aufgelöst....

Danke

Answer 2

f_k(x) = x²-kx³ 

f_k'(x) = 2x-3kx²

f_k''(x) = 2-6kx

1.Wendepunkt bestimmen

f_k''(x) = 0

2-6kx = 0 Ι +6kx

2 = 6kx Ι/6k

1/3k = x

x in f_k(x) einsetzten

f_k(1/3k) = (1/3k)²-k*(1/3k)3

= 1/9k²-k/27k³   Ι k kann man kürzen

= 1/9k²-1/27k²

                 = 3/27k² -1/27k²

               = 2/27k²

Wendepunkt: W(1/3k Ι 2/27k²)

2. Ortslinie der Wendepunkte bestimmen:

Man nimmt die x-Koordinate und stellt diese nach k um:

1/3k=x Ι *k

1/3=x*k Ι /x

1/3x=k

Diesen Wert von k setzt mn in die y-Koordinate ein:

y=2/27k² Ι k=1/3x einsetzten

y=2/27*(1/3x)²

y=2 : 27*1/9x²

y=2 : 27/9x²  Ι mit Kehrwert * nehmen

y=18x²/27

y = 2x²/3

Und schon hat man die Funktion der Ortslinie aller Wendepunkte der Funktion.

Hoffe das hat noch jmd. geholfen.

Comments

Sonst ja ganz in Ordnung aber die Klammerungen
müssen noch verbessert werden.

Anstelle
1/3k = x   
muß es korrekt heißen
1/(3k) = x