Differentialgleichung mit Anfangsbedingung: y'(x)=1+x-y(x), wobei y(0)=3.

Question

Die Funktion y: x→y(x) erfüllt die Differentialgleichung

y'(x)=1+x-y(x)

Bestimmen Sie y(x) durch Lösen der Differentialgleichung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung y(0)=3.

Was bedeutet Anfangsbedingung y(0)? Wie muss ich das in der Aufgabe verwenden?

Answer 1

löse die DGL in gewohnter Weise. Hier wieder die Variante mit charakt. Polynom und rechtem Seite Ansatz.

y' = 1+x-y

y'+y = x+1

y_h = c*e^{-x} (siehe andere Frage)

Ansatz der rechten Seite:

y_p = ax+b

Einsetzen in die DGL

a + ax+b = x+1

Koeffizientenvergleich:

a + b = 1

a = 1

Folglich muss b = 0 sein und wir haben:

y = c*e^{-x} + x

Ersetzt kommen wir zur Anfangsbedingung, die uns erlaubt die konstante c genau anzugeben:

y(0) = c*e^{-0} + 0 = 3

c = 3

Die spezielle Lösung lautet:

y = 3*e^{-x} + x

Grüße

Comments

Danke für deine Antwort!

Das heißt, ich kann die Gleichung auch erst einmal so lösen, wie Gast in meiner anderen Frage und dann die Anfangsbedingung wie hier einsetzen?

Bin mir bei deiner Lösungsmethode einfach unsicher, ob ich das so hinbekommen würde.

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Ja, Du kannst das auch wieder auf seine Weise tun.

Ich ziehe die Methode vor, ist aber nur Geschmackssache^^.