Integralrechnung Funktionen

Question

Hallo

Kann mir jemand mit diesen Aufgaben weiterhelfen ?

Bestimmen Sie die Funktione der Grenzkosten. Begründen sie, für welchen Funktionstyp sie sich entscheiden.

Ermitteln Sie die Kostenfunktion der bestehenden Anlage unter der Voraussetzung, dass die Fixkosten 3 GE betrage

Answer 1

Annahme:
$$ G(k)= ax^3+bx^2+cx+d $$
Punkte einsetzen :
$$ 6= a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d $$
$$ 2= a\cdot 2^3+b\cdot 2^2+c\cdot 2+d $$
$$ 6= a\cdot 3^3+b\cdot 3^2+c\cdot 3+d $$
$$ 15= a\cdot 4^3+b\cdot 4^2+c\cdot 4+d $$
und lösen !

Answer 2

Die Funktion sieht nach einer Funktion 2.Grades aus
( als Parabel symmetrisch ).

( 2  | 3 )
( 3  | 6 )
( 1  | 6 )
( 4  | 15 )

Der Lösungsansatz für die Normalform

f ( x ) = a * x^2 + b * x + c
f ( 2 ) = a * 2^2 + b * 2 + c = 3
f  ( 3 ) = a * 3^2 + b * 3 + c = 6
f ( 4 ) = a * 4^2 + b * 4 + c = 15

Der Lösungsansatz über die Scheitelpunktform

Scheitelpunkt (  2  | 3 )

f ( x ) = a * ( x - b)^2 + c
f ( x ) = a * ( x - 2)^2 + 3

f ( 3 ) = a * ( 3 - 2)^2 + 3 = 6
a + 3 = 6
a = 3

f ( x ) = 3 * ( x -2 )^2 + 3

Probe
f ( 4 ) = 3 * ( 4 - 2 )^2  + 3 = 15  |   stimmt

Bin kein Kaufmann und kenne mich mit Grenz- oder Fixkosten
nicht aus könnte mir aber vorstellen das für die komplette Kosten-
funktion noch 3 Ge an Fixkosten hinzuaddiert werden sollen.

K ( x ) = f ( x ) + 3
K ( x ) = 3 * ( x -2 )^2 + 6

Nachtrag
Da die Überschrift lautet " Integralfunktion " könnte es auch bedeuten
Stammfunktion
F ( x ) = ∫ Grenzkosten dx 
F ( x ) = ∫  f ( x ) dx 
F  ( x ) = ∫  3 * ( x -2 )^2 + 3  dx 
F ( x ) = ( x - 2)^3  + 3 x

Comments

Genauer
F ( x ) = ( x - 2)³  + 3 x  + c

Answer 3

Unter bestimmten Umständen lässt sich die Gesamtkostenfunktion K(x) -- eines Produktionsprozesses beispielsweise --- ganz gut durch eine monoton steigende, ganzrationale Funktion dritten Grades modellieren. Ihre Ableitung heißt auch Grenzkostenfunktion und ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades, also eine quadratische Funktion. Sie ist hier durch vier Punkte gegeben, also überbestimmt. Immerhin lässt sich der Scheitelpunkt S(2 | 3) aus der Zeichnung entnehmen, so dass

K' ( x ) = 3 * ( x - 2 )² + 3 bzw.

K' ( x ) = 3 * x² - 12 * x + 12

die Grenzkosten beschreibt. (Einsetzprobe zeigt, dass alle vier Punkte auf dem Graphen vom K' liegen.)

Die Gesamtkostenfunktion K(x) ergibt sich nun als diejenige Stammfunktion von K'(x), deren konstantes Glied den Fixkosten 3 GE entspricht.

Comments

Fehlerhinweis

K' ( x ) = 3 * ( x - 2 )² + 3 bzw.
K' ( x ) = 3 * x² - 12 * x + 12
besser
K' ( x ) = 3 * ( x - 2 )² + 3
K' ( x ) = 3 * ( x^2 - 4x + 4 ) + 3
K' ( x ) = 3 * x^2 - 12x + 12  + 3
K' ( x ) = 3 * x^2 - 12x + 15

---

Ja, stimmt, es muss

K' ( x ) = 3 * x^2 - 12x + 15

heißen.

---

Da du ja einen etwas besseren Einblick in kaufmännische
Rechnungen hast eine Frage zu
" Die Gesamtkostenfunktion K(x) ergibt sich nun als diejenige
Stammfunktion von K'(x), deren konstantes Glied den
Fixkosten 3 GE entspricht. "

Die Integrationsgrenzen sind nicht angegeben.
Allgemein müßte gelten :
Gesamtkosten = Stammfunktion ( a ) - Stammfunktion ( b ) + 3

Dies wäre nicht ganz dasselbe wie bei dir.