Umkehrfunktion f(x) = (x+1) / (x+5)

Question

was ist die Umkehrfunktion von: y= (x-1) / (x+5) ?

ich komme auf : y= (5x+1) / ( 1-x)

Aber in den Lösungen steht: es gilt: y ist nicht 1 und die Lösung ist:

y= (1-5x) / (x-1) 

kann mir jemand bitte helfen?

Comments

Die Lösung macht so keinen Sinn da y = (1-x)/(x-1) = -1 rauskommen würde.

Deine Lösung sieht eigentlich richtig aus

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eh sorry, die Lösung ist: y= 1-5x/x-1

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EDIT: (1-5x) habe ich nun oben mal korrigiert.

Fragen:

Warum steht in der Lösung nicht: x ist nicht 1?

Wie lautete der Zähler von f(x) wirklich?

Answer 1

y = (x + 1)/(x + 5)

y(x + 5) = x + 1

xy + 5y = x + 1

xy - x = 1 - 5y

x(y - 1) = 1 - 5y

x = (1 - 5y) / (y - 1) oder x = (5y - 1) / (1 - y)

Damit sieht deine Lösung fast so aus wie meine. Schau mal wo du in der Rechnung eine Abweichung hast. Ich denke die Lösung die angegeben war ist verkehrt.

Comments

ja , danke habe gefunden, aber was ist die Lösung :

x = (1 - 5y) / (y - 1) oder x = (5y - 1) / (1 - y)

beide oder nur eins?? es ist ja nicht dasselbe, Nenner ist gleich aber Zähler nicht.

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Also man sollte bei der Umkehrfunktion am Ende auch x und y vertauschen also schreiben y = ...

Bei den obigen Ausdrucken sind auch nicht die Nenner gleich.

x = (1 - 5y) / (y - 1) oder x = (5y - 1) / (1 - y) 

Die Ausdrücke sind gleich weil man mit -1 erweitern kann.

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@mathecoach
" Also man sollte bei der Umkehrfunktion am Ende auch
x und y vertauschen also schreiben y = ...  "

Halte ich sogar für zwingend notwendig sonst wird es keine
Umkehrfunktion und es gilt nicht
f ( x ) = Funktion
g ( x ) = Umkehrfunktion
g [ f ( x ) ] = x

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Mathecoach: Zähler von f(x) in Überschrift und in Fragestellung unterscheiden sich. Fragesteller kann das sicher noch klären.

Answer 2

hier ein etwas anderer Weg:

$$ \begin{aligned} \frac { y }{ 1 } &= \frac {x+1} {x+5} \\\\ \frac { y }{ 1-y } &= \frac {x+1} {4} \\\\ \frac { 4 \cdot y }{ 1-y }-1 &= x. \end{aligned} $$

Da an anderer Stelle die Uneindeutigkeit der Lösungsdarstellung
angesprochen wurde, hier auch noch ein paar Varianten dazu, es ist:

$$y = \frac { 4 \cdot x }{ 1-x } -1 = \frac { 5 \cdot x - 1 }{ 1-x } = \frac { 1 - 5 \cdot x  }{ x-1 }. $$

(Anmerkung: Die Funktion im Titel unterscheidet sich von der hier besprochenen...)

Comments

wie ist dir die Umformung von der 1.Gleichung ( Zeile )
auf die 2.Gleichung ( Zeile ) gelungen ?

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Ich habe in der ersten Zeile die Funktionsgleichung als Verhältnisgleichung notiert und bin dann durch Subtrahieren der Zähler von den Nennern auf die zweite Zeile gekommen. Das ist eine zugegebenemaßen etwas exotische Äquivalenzumformung bei Verhältnisgleichungen, deren Namen ich leider vergessen habe. Wenn er mir wieder einfällt, werde ich ihn nachreichen.

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Sehr geschickte Umformung.

Da ich es selber auch nicht kannte habe ich dazu mal einen eigenen Beitrag gemacht:

https://www.mathelounge.de/155447/trick-beim-umformen-von-verhaltnisgleichungen

Beim Strahlensatz hat man das ja öfters mit solchen Gleichungen zu tun. Ich bin mal gespannt ob ich das nächste mal dort auch geschickt so vereinfachen kann.

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So, hier nun der Nachtrag:

Die verwendete Umformung heißt "korrespondierendes Addieren / Subtrahieren" und ist bisweilen recht nützlich beim Vereinfachen von Verhältnisgleichungen.

Siehe dazu auch:
http://m.schuelerlexikon.de/mobile_mathematik/Verhaeltnisgleichungen.htm

Answer 3

Wenn ich eine Umkehrfunktion bilden soll vertausche
ich bereits im 1.Schritt x und y.
Dies hat den Vorteil wie gewohnt y auf die linke
Seite und x auf die rechte Seite zu bringen.
Dann komme ich nicht durcheinander.