Limes berechnen von (1-10^n) / (1+10^{n+1})

Question

Limes berechnen.

Die Lösung habe ich schon mit -0,1, doch ich komme nicht darauf:

\( a_{n}=\frac{1-10^{n}}{1+10^{n+1}} \)

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1-10^{n}}{1+10^{n+1}} \)

\( =\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1-10^{n}}{1+10^{n}+10^{1}} \)

\( =\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{10^{n}\left(\frac{1}{10^{n}}-1\right)}{10^{n}\left(\frac{1}{10^{n}}+1+\frac{10}{10^{n}}\right)} \)

\( =\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{-1}{1+\frac{10}{10^{n}}} \)

Answer 1

lim (n→∞) (1 - 10^n)/(1 + 10^{n + 1})

lim (n→∞) (1 - 10^n)/(1 + 10·10^n)

lim (n→∞) (1/10^n - 1)/(1/10^n + 10) = (0 - 1)/(0 + 10) = -1 / 10 = - 0.1

Answer 2

im (n→∞) (1 - 10ⁿ) / (1 + 10^{n + 1})

geht n gegen ∞ spielt die 1 im Zähler und Nenner keine
Rolle mehr.

im (n→∞) - 10ⁿ /  10^{n + 1} = - 10^{n-[n+1]}
im (n→∞) - 10^{n-n-1}
im (n→∞) - 10^{-1} = -0.1