Grenzwert berechnen. Woher kommt 10^{-2*n}?

Question

ich verstehe bei einer Aufgabe nicht, wie man auf die Lösung kommt. 
Woher kommt 10^-2*n?

a_n = (9 · 10ⁿ + 4 · 10²ⁿ) / (3 · 10^n/2 + 50 · 10^2·n−1 )

Lösung:

a_n = (9 · 10ⁿ + 4 · 10²ⁿ) / (3 · 10^n/2 + 50 · 10^2·n · 10⁻¹ ) | gPiN (10^-2*n)

    = (9*10⁻ⁿ+4) / (3*10^-3/2·n +5)

⇒ lim(n→∞)  a_n = 4/5

Answer 1

Hallo ving,

a_n = (9 · 10ⁿ + 4 · 10²ⁿ) / (3 · 10^n/2 + 50 · 10^2·n−1 )

a_n = (9 · 10ⁿ + 4 · 10²ⁿ) / (3 · 10^n/2 + 50 · 10^2·n · 10⁻¹ )

für die Berechnung von lim_n→∞  kürzt man bei solchen Termen durch die Nennerpotenz mit dem höchsten Exponenten (10²ⁿ), weil der Nenner dann gegen einen konstanten Wert konvergiert.

Das entspricht einer Erweiterung mit 1/ 10²ⁿ = 10^-2n

a_n = (9*  10ⁿ⁻²ⁿ + 4 * 10^2n-2n) / (3 * 10^n/2-2n + 5 * 10^2n-2n)

a_n = (9*  10⁻ⁿ + 4 ) / (3 * 10^-3/2·n + 5)

Man hätte auch in der ersten Zeile direkt durch 10^2·n−1 kürzen können.

Gruß Wolfgang