Kurvenintegrale parametisieren: Über eine Gerade

Question

Aufgabe:

Zu berechnen ist das Kurvenintegral

$\oint_{l}\left[x y \mathrm{~d} x+y^{3} \mathrm{~d} y\right]$

welches in der $x, y$-Ebene über den geschlossenen Weg $(l)$ führt, der von $P_{0}(1 ; 0)$ beginnend zuerst entlang eines Viertelkreises nach $P_{1}(0 ; 1)$ verläuft, dann entlang der $y$-Achse zum Koordinatenursprung und schließlich auf der $x$-Achse entlang zum Ausgangspunkt zurückführt. Lösung: Wir berechnen die Beiträge der drei Wegabschnitte zum gesamten Kurvenintegral nacheinander:

Den Viertelkreis (Radius $r=1$ ) beschreiben wir durch die Parameterdarstellung $x=\cos t, y=\sin t$, was auf $\mathrm{d} x=-\sin t \mathrm{~d} t$ und $\mathrm{d} y=\cos t \mathrm{~d} t$ führt.

Dabei gilt für den Viertelkreis $0 \leq t \leq \pi / 2$. Damit hat man als Beitrag zum Kurvenintegral

$\begin{aligned} I_{1} &=\int \limits_{0}^{\pi / 2}\left(-\cos t \sin ^{2} t+\sin ^{3} t \cos t\right) \mathrm{d} t \\ &=\left[-\frac{1}{3} \sin ^{3} t\right]_{0}^{\pi / 2}+\left[\frac{1}{4} \sin ^{4} t\right]_{0}^{\pi / 2}=-\frac{1}{12} . \end{aligned}$

Entlang der $y$-Achse hat man $x=0, y=t, \mathrm{~d} x=0$ und $\mathrm{d} y=\mathrm{d} t$, wobei $t$ von 1 nach 0 abnimmt. Dies liefert den Beitrag

$I_{2}=\int \limits_{1}^{0} t^{3} \mathrm{~d} t=\left[\frac{1}{4} t^{4}\right]_{1}^{0}=-\frac{1}{4}$

für den zweiten Teilweg. Schließlich hat man entlang der $x$-Achse $x=t, y=0$, $\mathrm{d} x=\mathrm{d} t$ und $\mathrm{d} y=0$, sodass wir wegen $I_{3}=0$ von diesem Teilweg keinen Beitrag haben. Insgesamt hat man damit $I=I_{1}+I_{2}=-1 / 3$.

Ansatz/Problem:

Bei der Aufgabe verstehe ich leider die Parametisierung x=0 und y=t. Wie komme ich denn auf diese Parametisierung? Da es ja von Punkt (0/1) zum Koordinatensprung (P(0/0) geht, kann ja die Geradengleichung:(

x=0+0t

y=1-1t

erstellt werden. (Vektorgeradengleichung)

Meine Grenzen wären dann nämlich von 0 und 1. Mit meiner gewählten Parametisierung komme ich jedoch auf ein anderes Ergebnis. Meine Vermutung ist, das ich es versuche über Methode der Integration über x-Achse zu lösen. Hier jedoch gar keine Bewegung in der x-Achse stattfindet sondern über die y-Achse. Da weiß ich leider nicht wie ich dann umformen muss.

Wie komme ich also auf die zweite Parametisierung?

Comments

Ist es vielleicht einfach eine Faustregel wenn ich mich auf der x Achse bewege zu sagen x=t und y=0 und wenn ich mich über die y-Achse bewege einfach y=t und x=0 zu parametisieren?

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Das ist keine Faustregel, das ist schlicht die Definition der Koordinatenachsen.

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Naja unter x=t kann ich mir ja ganz leicht vorstellen, das die Achse nun einfach als t bezeichnet wird. Was hat es aber zu bedeuten wenn man y=0 setzt. Die Achse gibt es einfach nicht? Wie darf ich diese Definition verstehen?

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y=0 ist die Geradengleichung der x-Achse, genau so wie x=0 die Geradengleichung der y-Achse ist.